markdown测试$\sigma$

核心：基于Lyapunov方法
考虑常微分方程

$$\begin{align}     \dot{x}=f(t,x)\label{eq1} \end{align}$$

方程$\eqref{eq1}$中$f$是连续函数。

1. 对于Lyapunov函数$V(t,x)$和连续正定函数$\omega_i(x), i=1,2$,使得满足如下性质：
   • $\omega_1(x)\le V(t,x)\le \omega_2(x)$;
   • $\dot{V}(t,x)\le 0$,
     则方程$\eqref{eq1}$的零解是一致稳定的。
2. 对于Lyapunov函数$V(t,x)$和连续正定函数$\omega_i(x), i=1,2,3$,使得满足如下性质：
   • $\omega_1(x)\le V(t,x)\le \omega_2(x)$;
   • $\dot{V}(t,x)\le -\omega_3(x)$,
     则方程$\eqref{eq1}$的零解是一致渐进稳定的。

考虑时滞微分方程

$$\begin{align}     \dot{x}(t)=f(t,x,t_t)\label{eq2} \end{align}$$

方程$\eqref{eq1}$中$f$是连续函数。核心思想是构造新的泛函$W(t,x)=\sup_{s\in[-h,0]}V(t+s,x(t+s))$, $h\ge0$. 证明泛函$W(t,x)$是满足上面的1或者2.即可得到$W(t,x(t))$是稳定（渐进稳定）的.

3. 对于1中，如果还成立

   $$\begin{align*} \text{If } V(t+s,x(t+s))\le V(t,x(t))\ s\in[-h,0] \Rightarrow\frac{d}{dt}V(t,x(t))\le 0, \end{align*}$$

   则方程$\eqref{eq2}$的零解是一致稳定的。

4. 对于2中，如果还成立

   $$\begin{align*} \text{iI } V(t+s,x(t+s))\le V(t,x(t))\ s\in[-h,0] \Rightarrow\frac{d}{dt}V(t,x(t))\le -\omega_3(x), \end{align*}$$

   则方程$\eqref{eq2}$的零解是一致渐进稳定的。

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