怪异数学

美妙的数学

长期以来，一个令人困惑的现象是：一些同学视数学如畏途，兴趣淡漠，导致数学成绩普遍低于其他学科。
这使一些教师、家长乃至专家、学者大伤脑筋！
“兴趣是最好的老师。”对任何事物，只有有了兴趣，才能产生学习钻研的动机。兴趣是打开科学大门的钥匙。
对数学不感兴趣的根本原因是没有体会到蕴含于数学之中的奇趣和美妙。
一个美学家说：“美，只要人感受到它，它就存在，不被人感受到，它就不存在。”
对数学的认识也是这样。
有人说：“数学真枯燥，十个数字来回转，加、减、乘、除反复用，真乏味！”
有人却说：“数学真美好，十个数字颠来倒，变化无穷最奇妙！”
认为枯燥，是对数学的误解；感到了兴趣，才能体会到数学的奥妙。
其实，数学确实是个最富有魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。
尽管语文的优美词语能令人陶醉，历史的悲壮故事能使人振奋，然而，数学的逻辑力量却可以使任何金刚大汉为之折服，数学的浓厚趣味能使任何年龄的人们为之倾倒！茫茫宇宙，浩浩江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。
数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒。
因为它美，才更有趣；因为它有趣，才更显得美。美和趣的和谐结合，便出现了种种奇妙。
这也许正是历史上许许多多的科学家、艺术家，同时也钟情于数学的原因吧！
数学以它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。

一、数学的趣味美

数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。数学的趣味美，体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其他学科望尘莫及的。
揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数……的面纱，令人惊诧；观看了数字波涛、数字漩涡……令人感叹！一个个数字，非但毫不枯燥，却生机勃勃，鲜活亮丽！
根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学游戏，是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化！
各种变化多端的奇妙图形，赏心悦目；各种扑朔迷离的符形数谜，牵魂系梦；图形式题的巧解妙算，启人心扉，令人赞叹！
魔幻迷题，运用科学思维，“弹子会告密”、“卡片能说话”，能知你姓氏，知你出生年月，甚至能窥见你脑中所想，心中所思……真是奇趣玄妙，鬼斧神工。……
面对这样一些饶有兴味的问题，怎能说数学枯燥乏味呢？

二、数学的形象美

黑格尔说：“美只能在形象中出现。”

谈到形象美，一些人便联想到文学、艺术，如影视、雕塑、绘画等等。似乎数学中的数与形只是抽象的孪生兄弟。
其实不然。
数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚丽画面。
数字美：
阿拉伯数字的本身便有着极美的形象：1字像小棒，2字像小鸭，3字像耳朵，4字像小旗……瞧，多么生动。
符号美：
“=”（等于号）两条同样长短的平行线，表达了运算结果的唯一性，体现了数学科学的清晰与精确。
“≈”（约等于号）是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧。
“＞”（大于号）、“＜”（小于号），一个一端收紧，一个一端张开，形象的表明两量之间的大小关系。
｛[（）]｝（大、中、小括号）形象地表明了内外、先后的区别，体现对称、收放的内涵特征。……
线条美：
看到“⊥”（垂直线条），我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到“—”（水平线条），我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到“～”（曲线线条），我们想起了波涛滚滚的河水，给我们的是流动感。
几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目。
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三角形的稳定性，平行四边形的变态性，圆蕴含的广阔性……都给人以无限遐想。
脱式运算的“收网式”变形以及统计图表，则是数与形的完美结合。
我国古代的太极图，把平面与立体、静止与旋转，数字与图形，更作了高度的概括！

三、简洁美

数学科学的严谨性，决定它必须精练、准确，因而简洁美是数学的又一特色。
数学的简洁美表现在：
1.定义、规律叙述的高度浓缩性，使它的语言精练到“一字千金”的程度。
质数的定义是“只有1和它本身两个约数的数”，若丢掉“只”字，便荒谬绝伦；小数性质中“小数末尾的0 ……”中的“末尾”若说成“后面”，便“失之千里”。此种例证不胜枚举。
2.公式、法则的高度概括性。
一道公式可以解无数道题目，一条法则囊括了万千事例。
三角形的面积=底×高÷2。把一切类型的三角形（直角的、钝角的、锐角的；等边的、等腰的、不等边的）都概括无遗。
“数位对齐，个位加起，逢十进一”把20以内、万以内、多位数的各种整数相加方法，全部包容了进去。
3.符号语言的广泛适用性。
数学符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面。
a+b=b+a abc=acb=bca……
其中a，b，c可以是任何整数、小数或分数。
S=1/2(a+b)h，适用于各种形状梯形面积的求解。

事物的对立统一。
πR2-πr2=π（R+r）?（R-r），环形面积的多解性便富含其中。

正方形面积间的固有联系。
所以，这些用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍规律，简洁，明了，易记。充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。

四、对称美

对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心对称图形，幻方、数阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。
略举几例：
算式：
2∶3=4∶6
X+5=17-9
数阵：

数学概念竟然也是一分为二的成对出现的：“整—分，奇—偶，和—差，曲—直，方—圆，分解—组合，平行—交叉，正比例—反比例……显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。图形：

数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学之美还不仅于此，它贯穿于数学的方方面面。数学的研究对象是数、形、式，数的美，形的美，式的美，随处可见。它的表现形式，不仅有对称美，还有比例美、和谐美，甚至数学的本身也存在着题目美、解法美和结论美。
上述这些只是浮光掠影的点点滴滴，然而，也足见数学的迷人风采了。
打开这本书，如同进入一个奇妙世界，呈现眼前的尽是数、形变幻的奇妙景观，一个个“枯燥”的数字活蹦乱跳地为你作精彩表演，一个个“抽象”的概念娓娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数学秘密，展示了数学迷宫的绚丽多彩。数的变幻，形的奇妙，有的令你追根究底，有的令你流连忘返，有的令你惊讶感叹，有的令你拍案叫绝……
走进这个奇妙世界，必将如咀嚼一枚橄榄果，品尝到数学的浓浓趣味，感受到数学王国神异奇妙，从而使我们眼界大开。你将惊呼：“哇！数学原来是这么有趣啊！”
魔幻迷题
  
世界短跑冠军真的追不上乌龟吗？
  
魔幻迷题
  
自然数是一个蕴藏无限奥秘的海洋，它既有音乐数、魔术数、奇异数之类各具“个性”的成员，也能通力合作联手并肩，排成奇妙的数阵、幻方。
更加奇特的是，数学还能以它自身的力量，形成种种迷人的魔幻。
魔幻迷题便是用数学知识表演的魔术，它以数学知识为外衣，引诱人们一步步坠入迷宫，使一个个“不可能”成为“事实”。尽管十分怪异，却又无法否认。
它能证明：1=2，2=3=8。甚至证明：任何数加上1后还得任何数。它还证明：梯形上底=下底；大圆周=小圆周。
其实，2就是2，3就是3，2与3绝不相等。使2变成3，是在演化的过程中掺了假！掺假的方法很隐秘，很巧妙，只有对数学的公式、定律、性质非常熟悉的人，并且十分精细地观察每一步的演化依据，才能及时发现其中破绽。
数字魔幻的演化过程，常常利用“0的特性”迷惑他人，故意把特殊性与一般性糅合一起，使粗心大意者在不知不觉中，按照表演者的思路，误入迷途。
数的魔幻反映在形体上，就是形的魔幻。
形的魔幻，有的利用人们的视觉错误，用具体物体证明不可能的存在，如：10=9，50=48=49……，有的故意将图画错，而后将错就错，按照错误的根据进行证明，从而得出令人意外的结论。有的利用诡辩，偷梁换柱，把他人的思路引入歧途，最终令人昏头转向，真假难辨；有的看似不可能，却是真实的存在，它利用高深的知识(如拓扑学)使问题获解。只是暂时我们还不能理解罢了。
形的魔幻是看得见摸得着的具体事物，与数的魔幻相比，更加有趣，更加奇妙迷人！
魔幻迷题令人信服地表明：
数学，的的确确是一门极富魅力十分有趣而又引人入迷的学科，它的威力大到能使“不可能”成为“事实”。
  
1.和=积

和等于积，是说一个数与它自身的和等于它自乘的积。有人说：“不可能！”有人说：“只有0+0=0×0，2+2=2×2。”有人说：“这样的数多得很！可以写成一个‘万能公式’。”
你认为存在这样的公式吗？
解：具备这种特点的数，确实多得很!
设A为任一自然数，可列出如下方程：

将方程两端都乘以x，得：
Ax+A=A?A
Ax=A?A-A
   
X=A-1
将A-1代入原方程：

如果A=8，则：



证明这个公式是正确的。
  
2.    2=1
  
有人这样证明：
设：a=b
则a2=a?a=b?b=a?b
也即：a2=ab
在等式两边减去b2，得：
a2-b2=ab-b2
(a+b)(a-b)=b(a-b)
在等式两边同除以a-b，得：
a+b=b
因为：a=b，a+b=b也即b+b=b
所以：2b=b
等式两边有同除以b，得：
2=1
奇迹出现了！
你能找出证明过程中的错误吗？
解：表面上看，证明过程中逻辑性很强，每演化一步都持之有据，对等式的性质也很熟练，似乎无懈可击。
但细致的推敲一下，便可发现表演者在证明中故意把特殊性当作一般性运用了。
因为，既然假设a=b，则a-b=0。
等式两边同乘以或同除以一个数，必须“0除外”，等式才能保持“仍相等”的特性。证明中，将式两边同除以“a-b”，而a-b=0，0是不能作除数的！正因为用0(即a-b)去作除数，才出现了2=1的荒谬结果。
  
3.    1=3
  
有人这样证明： 设a=b
则：a?b?b=a?a?a
也即：ab2=a3
在等式两边同减去b3，得
ab2-b3=a3-b3
b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)
在等式两端同除以(a-b)，得：
b2=a2+ab+b2
∵ a=b上式也可为：
b2=b2+b2+b2
即：b2=3b2。
等式两端同除以b2，即得：
1=3
又是一个令人惊奇的结果。
1怎么会与3相等呢？还需在推导过程中找毛病。
解：这题问题仍出在等式两边同除以(a-b)这个环节上！
因为，既然设a=b，那么a-b=0，而0是不能作除数的。
  
4.   2=8
  
设有一方程为：
2x-4=8x-16
将此方程变化为：
2(x-2)=8(x-2)
将等式两边同除以(x-2)，即得：
2=8
这也是个荒唐的结果。
但是，它的证明方法错在何处呢？
解：上述证明过程又是在等式两边除以同一个(x-2)。那么，其中的x是多少呢？从方程2x-4=8x-16可以求出x的值。
即：
2x-4=8x-16
8x-2=16-4
6x=12
x=2
x=2，则x-2=2-2=0，原来又是0在作怪！在等式两边同除以(x-2)，也即用0去除等式的两端，问题就出在这里。
  
5.   2=3
  

等式：
4-10=9-15


这样变化后，恰符合两数差的平方公式。即：



2=3
本题没有用0去除等式两边的数，却仍然出现2=3的荒谬结果，错误原因又是什么呢？
解：本题需涉及到中学的数学知识。它的错误在于，将等式


而后者结果是正数。虽然它们平方后的数值是相等的，却不能表明它们原来的数值也是相等的。
  
6.   n+1=n
  
若n为任意自然数，则(n+1)2符合两数和平方公式：
(n+1)2=n2+2n+1
在此等式两边同加[-(n+1)(2n+1)+1/4(2n+1)2]，得：

即，

两边同时开平方，得：


n+1=n
这岂不成了：任意一个自然数加上1以后，仍是原来的自然数么？
当然是违背常理的，但是错在哪儿呢？
解：问题也是发生在等式两边开平方的环节上。
我们知道：





这样，按照算术平方根的概念：

所以：

n+1=2n+1-n
n+1=n+1
这题涉及中学数学知识，目前或许有困难。但是以后的学习过程中会逐渐理解的。从中读者可以体会到：随着数学知识的扩展，魔幻变化的内容也越加丰富。
  
7.   8=7
  
表演者拿出一张纸，纸上画着8个孩子在跳舞：

表演者又在纸上画了两条线，将纸剪成了三块，并一块一块的展示给观众。
接着，表演者又把三块纸重新拼合起来。

众人再一看，图上原来明明是8个演员，现在却只有7个了！
表演者说：“这个事实，说明8与7也是相等的。”
人们奇怪：为什么失踪了一个演员呢？
解：这题的关健是所画的两条线，剪开后再重新拼合，有一位演员身体重叠了，本来是两个人合成了一个人，因而8变成了7！
  
8.  49=48=50
  
表演者拿出一个边长7厘米的正方形纸板，要观众求出它的面积。
这么简单的问题，大家异口同声地说：
边长×边长=49平方厘米。
接着，表演者在图上画了几道线(如图)并沿线将图剪开，这样共剪成了5块。
表演者说：“这纸，还是原来的那张纸。”说着，把剪成的纸片一块一块的展示给人们看。

接着，他又重新把纸片拼合了起来。
众人不禁大吃一惊：正方形的中间竟空出了一平方厘米！
这样，若仍按原正方形算，剪开后一点纸屑也没丢，新图形的面积就是：(49+1=)50平方厘米了！
但是，原来的正方形面积是49平方厘米，从图中可知边长仍是7厘米呀，这样，图形的实际面积又成了：(49-1)=48平方厘米了！
这岂不是说：49=48=50么？
真使人捉摸不透！
解：其实，剪开后拼成的图，并不是真正的正方形，而是一个长方

在划线剪开时，表演者便选准了部位(如图)：


因而，新拼的图形围成的面积实际是：

若去掉中间空下的1平方厘米，纸片的实际面积仍是49平方厘米。
  
9.  64=65
  
表演者拿出一个8×8方格的纸片。因此纸片上共有8×8=64个方格。
表演者又在纸片上画了几道线(如图)，并沿线将纸剪开成4片。

然后，又将4块纸片重新拼成一个长方形，要求观众再计算一下长方形的面积。
大家一看，新拼成的长方形，长有13格，宽是5格。这

样，新图形的面积共有：
13×5=65
奇怪，还是原来的那张纸，64格却变成了65格！难道64=65？

解：这道题的奥秘与上题相似，实际纸的面积没有变化，仍是64个方格。
秘密在于所拼成的图形对角线并不是直线，只是拼成后隙缝很小，肉眼不易发现罢了！
拼成后成为65个方格，多出的1个方格，包含在对角线那么长的隙缝中，一般人当然是不会注意的。
  
10.    大圆周=小圆周
  
证明：设图中是大小两个同心圆，大圆半径为R，小圆半径为r。

如果使大圆沿着直线滚动一周，这时，大圆的周长=AA′=2πR由于两圆是固定在一起的，所以小圆也转动一周，移动的距离是BB′，即：

BB′=小圆的周长=2πr因为，AA′B′B是长方形，对边相等。
所以，AA′=BB′
由AA′=2πR
BB′=2πr
∴2πR=2πr 也即：
大圆周长=小圆周长在等式的两端同除以π，得：
2R=2r也即：
大圆直径=小圆直径同理：R=r 也即：
大圆半径=小圆半径真是“奇谈怪论”！
解：从图上看，似乎是合情合理的，实际上其中忽略了一个隐含的因素，即因为两圆固定在一起，小圆除了滚动之外，还随着大圆的滚动向前滑行。因此，AA′是大圆的周长，BB′虽与AA′相等，实际却并不与小圆周长相等，它要比小圆周长大出许多。
由于大前提错了，由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径，不可能与小圆的直径、半径相等！
  
11.世界短跑冠军“追不上”乌龟
  
美国的刘易斯是世界短跑冠军，他的百米成绩是9秒92，可以说，其快如风。而乌龟，就是在动物中运动速度也是较慢的，它靠四个脚爬行。慢慢悠悠，老半天也爬不了几米。想当年，它与小白兔赛跑，要不是小白兔在树荫下睡了一觉，无论如何它也得不到冠军呀！
现在，有人却要证明：只要乌龟在前，世界短跑冠军也永远追不上它。
证明的过程是这样的：
设：乌龟在A点向前爬，刘易斯从O点出发向前追。

当刘易斯追到A点时，乌龟尽管速度很慢，还是要前进一段距离的，假定它到达了B点。
刘易斯继续追赶。
当刘易斯到达B点时，乌龟仍然不会停在B点，假定到达了C点，仍是在刘易斯的前面。如此继续下去，当刘易斯追到C点时，乌龟又到达了E点。
总之，尽管他们间的距离越来越小，尽管乌龟的速度很慢，却总是在刘易斯的前面。也就是说，刘易斯永远追不上乌龟！
这可能吗？
解：短跑冠军怎么会追不上乌龟呢？
错误的结论产生于用“有限”的方法去处理“无限”的问题了。
假定长跑冠军的速度是10米/秒。乌龟的速度是1米/秒，它们间的距离OA若在9米以内，不需1秒即可追上。若OA在90米以内，不需10秒也便追上了。
同样，我们也可以证明。
设：OA=9米，刘易斯前进速度为10米/秒，乌龟爬行速度是1米/秒。
刘易斯用0.9秒，便跑到了A点，乌龟用同样的时间，只跑了0.9米(到达B点)；当刘易斯再用0.09秒追到B点，乌龟用同样的时间，又向前爬了0.09米(到达了C点)……
刘易斯一段一段的追赶，所用的总时间t和所行的总距离s，是：
t=0.9+0.09+0.009+……
s=9+0.9+0.09+……
∵0.9+0.09+0.009+……=0.999……=0.9=1
∴ 当t=1秒
s=10×(0.9+0.09+0.09+……)
=10×1
=10(米)
而刘易斯与乌龟间的距离OB，只有9.9米(即原距离9米，加上1秒钟内乌龟所行的0.9米)，所以，如果OA=9米，刘易斯只需1秒钟，便可追上乌龟了！
故事数学
  
听故事 学数学回味无穷
  
故事数学
  
一切真知都来源于实践，来源于生活。
生活本身是美好的，有趣的，在生活中产生的数学故事，自然更是十分有趣的。这是因为，故事一般都有人物、事件和情节。将数学问题贯串在故事的事件、情节里，故事中便蕴含着判断、推理和演算。你在听故事的同时，要动脑筋想问题。在解决问题的过程中，发展了智力，提高了能力。从这个意义上讲，数学故事比一般的故事趣味性更浓，吸引力更大。
数学故事一般都比较短小、单纯。它的主要目的是通过故事，讲述数学问题，当数学的条件、问题都交待时白了，故事便不再延伸下去了。但是它却设置了悬念，留下了疑问，迫使读者去回味，去破解。
怎样解数学故事呢？
听(或读)数学故事，不能像听一般故事那样，只迷恋它的事件、情节，要边听(或读)边想，抓住重点，把核心问题从条件、情节中分离出来，去掉那些枝枝节节，只保留与条件问题有关的主干，使它成为一道单纯的数学题。而后根据题目的特点，按照数学的方法，分析、解答。
数学故事虽然短小，却具有很强的艺术魅力，古今中外各个民族都有数学故事。数学故事闪耀着人类智慧的光华。
这里既选取了部分脍炙人口的传统数学故事，也编选了名著中、现实生活中有趣的数学故事。
咱们又听故事，又学数学，相信读者朋友会很高兴的。
  
1.富翁打赌
  
有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。贪财好利是他们的共同特点。
一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。
精明的富翁说：“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱。”
吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我一万元，别说我给你1分，就是再给你一千我也干！”
“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我一分。”
“难道你第二天还要给我一万？”
“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的一万，要给我二分。第三天……”
没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我一万，我给你……”
“四分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。”
吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”
“我是人人都知道的百万富翁。”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出三十万，先送你一个月足够了。但是你给我的钱也一个不能少！”
嘿，还当真呢！
吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”
“不签协议算什么打赌？”精明的富翁说：“咱们还要找几个公证人呢！”
吝啬的富翁真是喜出望外。
于是他们签了协议，找来了几个公证人。协议上写道：
甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍。双方持续时间为30天。
就这样，把手续办好了。
吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔。不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱。
第二天，对方仍然如约送来了一万元。他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。
对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我4分钱！”
话休繁叙，当吝啬的富翁拿到十万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱。但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万。
可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求打赌终止。
对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。
你说，这是为什么？
解：吝啬的富翁在一个月内共得到300000元。
他需要付给对方的钱，总数是：
1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912
＝1073741823(分)＝10737418.23(元)。
即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。
  
2.阿诺德智慧
   
传说在德国的历史上曾发生过这么一件趣事。
16世纪时，这个国家是由许多彼此独立的小国组成。其中有两个相邻的小国，原先睦邻友好，人民相互自由进出，连货币都可通用，并且价值相等。
后来两国闹了矛盾，虽然人民还可以自由来往，但甲国的国王下令，乙国的钞票若拿到本国使用，100元只能作本国的90元。
乙国得知这一消息后，也不示弱，迅即下了一道同样的命令，以牙还牙，即甲国的钞票若拿到本国使用，100元只作本国的90元！
一个名叫阿诺德的人，得知这一消息，连忙劝说两国的国王，万万不可如此。否则有人悄悄跑跑腿，便会趁机发了大财。
两个国王都不相信。
阿诺德见说服不了他们，便自告奋勇亲自实践。两国国王分别给他100元，让他试验。若果真他能利用这条命令发了大财，便收回成命。
阿诺德拿了200元钱，一会儿到甲国购货，一会儿又到乙国购货，往返穿梭在两国的商店里，不消几日，便腰缠万贯。接着他便把赚来的大宗财物，送到国王面前。两国的国王见状都惊奇得目瞪口呆。忙问他：“是怎么赚得的？”
阿诺德讲述了赚钱方法后，国王都信服地连连点头，深深认识了分裂的危害，于是他们各自都收回了成命，和好如初。
你知道，阿诺德是怎样赚钱的吗？
解：阿诺德拿着甲国的100元，在甲国的商场购物10元，对方找钱时，他声称要到乙国去，要求找回乙国的钞票，这样，本应找回他90元甲国钞票，他却得到了100元乙国钞票。此时，连同乙国国王给的100元，他有了200元乙国钞票。
阿诺德拿着乙国的200元钞票，迅速地跑到乙国商店要20元的货物，在对方找钱时，他又声称自己要到甲国去，要求找回甲国钞票。这样，本应找他180元(90元×2)的乙国钞票，他却得到了200元的甲国钞票。
就这样，他在甲国购物，要求找回乙国钞票；在乙国购物，要求找回甲国钞票……如此循环往复，他手中的钱物便越聚越多，用不了多长时间，便发了大财。
  
3.科幻小说中的算题
  
安培是法国的一位著名学者。
一天傍晚，他拿着儒勒?凡尔纳的科幻小说在街头散步。
小说中主人公说出的数学问题引起了他的兴趣。
安培一面散步，一面思考着计算方法。忽见前面有块“黑板”，他便从口袋里摸出粉笔头，向“黑板”走去，专心致志地在“黑板”上进行演算。
可是题目还没有算完，那“黑板”却向前移动了！
安培的心思只集中在算式上，便也不由自主地跟着“黑板”向前移动。
不料，那“黑板”越走越快，安培也加快了脚步，同时迅速地书写着。最后几乎是跑着追那“黑板”，还是被“黑板”抛下了！
此时，只见街上的行人一个个朝着他哈哈大笑。这位学者定睛一看，才恍然大悟，那块会移动的“黑板”，原来是一辆黑色马车的车厢。
儒勒?凡尔纳的科幻小说中什么问题吸引了这位大名鼎鼎的学者呢？
那题目是：
当一个身高1.7米的人，绕地球一周时，他的头顶要比他的脚底多跑多少路？
解这道题，其实并不难。
读者朋友，你会计算吗？
解：若把地球当作一个圆，绕地球一周，人的头和脚所经过的路程恰是圆环的外周和内周。
如图：

设地球半径为R，足经过的路程是2πR，头经过的路程是2π(R＋1.7)，两者相差：
2n(R＋1.7)－2πR
＝2πR＋3.4π－2πR
＝3.4π
＝3.4×3.14
≈10(米)
  
4.智越沙漠
  
解放战争时期，我军的两名侦察员在取得了重要情报后，大部队已经老早出发了。他们为了将情报及时送交部队首长，必须抄近路迎头赶去。
近路是一片荒无人烟的茫茫大沙漠。据当地群众说，穿过沙漠需要10天时间，但是根据沙漠的气候特点和人体负荷情况，每天最多只能带8斤食品和8斤水，而每人每天至少要消耗1斤食品和1斤水。这样，最后2天便会因无法得到食品和水的补充而葬身沙漠。
尽管当地可以找到民工，但是民工每人也只能带8斤食品和8斤水，各自所带的粮食和水连自己都不够消耗的。
怎么办呢？急得两个侦察员抓耳挠腮。
两人苦苦的思索着解决办法。
“有了，可以这么办！”忽然一个队员想出了妙法。两人一合计确实可行。
于是两个人便顺利地通过了沙漠，圆满地完成了任务。
他们想了什么办法呢？
解：他们雇用了一个民工，两天后，请民工回去，并给他2斤食品和2斤水供回去的路上用。民工余下的4斤食品和4斤水，两个队员平分，加上他们各自用剩的食品和水，每人仍是8斤食品和8斤水，而此时余下的路程也只需8天了。
除此以外，还可以想出别的办法来。
  
5.孙悟空的紧脑箍
   
《西游记》中的孙悟空被观世音菩萨带了紧脑箍，保护唐僧到西天取经。
尽管孙悟空勇敢、机智、爱憎分明、忠心耿耿地保护唐僧，可是唐僧却是非不分，常常念起紧箍咒，让孙悟空屈服。
在去西天取经路上，白骨精三次变化成人诱骗唐僧，都被孙悟空“火眼金睛”识破，把它击倒在金箍棒下。孙悟空本想除恶务尽，唐僧却硬说他误伤好人……
孙悟空不听，唐僧便一次次的念着紧箍咒，疼得孙悟空满地打滚。
假定孙悟空的脑袋直径是20厘米，唐僧每念一遍咒语，紧箍缩短原

深？
解：在唐僧没念咒时，紧脑箍的直径与孙悟空的脑袋直径相等，都是20厘米。
紧箍的周长是：
20×π＝20π
唐僧念五遍咒后，紧箍的周长是：

＝19π
这就意味着，紧箍直径缩

短了1厘米(20～19)。这样，四周都将嵌入孙悟空头皮0.5厘米深。因而，孙悟空疼痛难忍，满地打滚。
  
6.棋盘上的粮食
  
中国、印度、埃及和巴比伦是世界四大文明古国。
传说，古印度有一个人发明了一种游戏棋，棋盘共64格，玩起来十分新奇、有趣。他把这种棋献给了国王。国王玩得十分开心，便下令赏赐献棋人。臣下问献棋人想要什么。献棋人说：“他只需要粮食，要求大王给点粮食便心满意足了。”问他需要多少粮食，他说只要求在棋盘的第一个格子里放一粒米，在第二个格子放两粒米，第三个格子里放四粒米……总之，后面格子里的米都比它前一格增大一倍，把64格都放满了就行。
国王一听，满口答应。大臣们也都认为：这点米，算得了什么，便领献棋人去领米。岂料，到后来把所有仓库里的存米都付出了，还是不够。
你知道这是为什么吗？
解：米粒数根据制棋人的要求。可列式为：
1＋2＋22＋23＋24＋25＋……＋264-1
＝18446744073709551615(粒)
如果造一个仓库来存放这些米，仓库应是多大呢？有人算过，若仓库高4米，宽10米，那么长应是地球到太阳距离的2倍。这样的长方体仓库在地球上是容不下的，当然这只是个假设。传说，当时计算米粒数宫廷里就整整算了三天！这是中学数学中“等比级数求和”问题。在当时只是凭手工硬乘出来的。国库中当然不可能有那么多的粮食。
  
7.难解的遗嘱
  
传说很久很久以前，在印度有个老农民，临终前他将三个儿子叫  到面前，有气无力地说：“我就要见真主去了，这一生没有给你们留下更多的财产，只有19头牛，你们分了吧：老大分总数的

气，不久便闭上了眼睛，停止了呼吸。
三个儿子办完了丧事，便开始分牛了。
当时的印度，有不准宰牛的教规，三个儿子既要遵守教规，又要执行老人的临终遗嘱，可是，左思右想也没有办法解决。
一天，有个邻居从门前经过，见他们兄弟唉声叹气，很是奇怪。当这邻居问明了原因后，思索了一会，又从家里牵来了一头牛，便很快帮他们把牛分好了。
按照邻居老农的办法，既没有宰杀一头牛，又遵照了老父的遗嘱。弟兄三人顿时眉开眼笑。
邻居老人用了什么办法呢？
解：老人把自己的一头牛也加在19头牛内，总数是20头牛。这样便容易分了：
老大分牛的头数是：

老二分牛的头数是：


老三分牛的头数是：

这样，兄弟三人分得牛的总头数是：10＋5＋4＝19(头)
邻居老人再把自己的一头牛牵回。
其实添上一头牛后又牵走了，说明不添这头牛也是可以分开的。
兄弟三人分牛头数的比是：

即总数是10＋5＋4＝19份，这样便可按比例分配了。



  
8.巧分宝石
  
传说，古代有个守财奴，临死前留下13颗宝石，嘱咐三个女儿：大

老人咽气后，三个女儿无论如何也难按遗嘱分配，只好请教舅父。
舅父知道了原委后说：“你们父亲的遗嘱不能违背，但也不能将这么珍贵的物品用来陪葬，这事就由我来想办法分配吧。”
果然，舅舅很快将宝石分好，姐妹三人都如数拿走了应分得的宝石。
你知道舅舅是怎么分配的吗？
解：舅舅将宝石先取出一粒放在旁边，而后再分。
这样，还有12颗。



可是，先用12颗分的，前两个姐姐拿去了10颗，只剩下2颗了！舅舅将原先取出的一颗交给小女儿，便恰好是3颗了！
  
9.座位循环
  
一天晚上，大众餐厅来了一群穿着简朴，风尘仆仆的青年顾客，原来他们是从家乡外出打工来到城里的。
服务员给他们上好了饭菜，不料，几位青年为了座次的安排却发生了争执。
有人提议：“应该以年龄为序，年长的坐上席。”
可是立即遭到反对：“那不成，咱们都没带户口簿，谁知谁啥年出生？”
因此谁也不愿先报年龄，生怕自己把年龄说小了。
“要不以个头高矮为顺序，高个的坐上席！”又有人提议。
“那不成，儿子高过老子的多得是，假如父子同在一桌，难道能让儿子坐首席？”这话就更难听了！
这样，便始终达不成协议，其他客人都走光了，他们仍在争吵不休。服务员前来劝说也不成。
饭店经理知道情况后，便和颜悦色地来到餐桌前说：“各位客人先坐下，听我说一句话。”
争论的时间已经很长，各人只得临时先入座，听听经理的意见。

经理态度从容、胸有成竹地说：“咱们的饭店，价廉物美，首先我们欢迎各位光临。这样吧，你们把现在的入座情况记下来，明晚再来，请按另一个次序排列，后天再来，再按一个新的次序排列。一句话，你们每次来吃饭都不要重复上一天的座次，这样不论首席、末席人人都会轮着，公平合理。同时本店另有优惠：你们总共8位客人，等到全部轮流一遍，回复到今晚这样座次时，我们饭店将不再收费。每晚免费供给你们一顿晚餐，而且这顿晚餐，任你们挑选，要什么菜，就上什么菜……各位意见如何？”
“免费供给晚餐，这太好了，你这是说好听话吧？”青年们显然不相信。
“我是饭店的负责人”，经理说：“从来说话都是算数的，要不，我可以给你们签协议。”
“好！”青年们一致赞同，“就照你说的办，我们写个协议吧！”
于是经理与青年们郑重地签了协议。
从此，这8位青年每晚都按不同座次到大众饭店就餐。再也没有争论，气氛融洽友好。
就这样，日复一日，一个月过去了，两个月过去，春去冬来，青年们挣了些钱都准备回家过春节了。可是他们在饭店就餐的座次仍然没有与第一次座次重复。
你说，这是什么原因呢？
解：计算一下便找到答案了。
假如只是3个人就餐，六次便可重复了，即：123、132、213、231、312、321。
假定是四个人就餐，其中一人座位不动，其他三位需变化六次，才重复，即：4123、4132、4213、4231、4312、4321。当第四个人一动，则需6×4＝24次才能重复。
同理，五人就餐需24×5＝120(次)
六人就餐需120×6＝720(次)
七人就餐需720×7＝5040(次)
八人就餐需5040×8＝40320(次)
一年365天，每天一次，40320次需多少年才能重复呢？
40320÷365≈110(年)
这就是说，这八位青年即使终生都在这饭店就餐，也不会再重复原来座次的。也就是说，这位精明的经理，用最好的饭菜免费供给，原本是不可能实现的，因为不用到重复座位时，他们都已经去世了！
  
10.公主的线团
  
古希腊米诺斯国王有个公主，名叫阿里安娜，她聪慧善良，在提修斯王子准备闯进迷宫杀死牛头怪物时，她给王子送一个线团。因为一旦闯进迷宫，记不住出来的路线，就会困死在迷宫里。王子利用线绳作记号，打入谜宫，杀死了牛头怪，又顺利地返回。
因此，“阿里安娜”的线团”成为一个象征吉祥的名称，法国便命名它的运载火箭为“阿里安娜”。
如今，“阿里安娜”火箭可把通信卫星发射到离地球36000千米的圆形轨道上，那么，它绕这个轨道一圈再回到地面，这个线团至少要有多长？
解：地球的半径约是6400千米火箭运行轨道的半径是：
36000＋6400＝42400(千米)
火箭运行的圆周长是
2πr＝2×3.14×42400
＝266272(千米)
火箭从地球发射点到静止卫星轨道的往返距离是
36000×2＝72000(千米)
火箭绕轨道一圈再回到地面的距离，也即阿里安娜线团的长度是：
266272＋72000＝338272(千米)。


  
11.多少士兵
  
传说，古代有一位新上任的将军，在出征前举行了一次队列演习。他先命令士兵每12人为一组排成一队，结果最后一队缺1人。他觉得最后有空缺是不吉利的。于是又改命每组10人，结果最后一组仍缺1人。便又改每组7人，排到最后还是不足1人，直到最后每5人一组，总是缺1人。
这个将军非常迷信，认为这支部队总不正好，必然难打胜仗，于是一直不敢出兵。
据说，将军的士兵总数不足500人。实际究竟是多少人呢？
解：这队士兵，如果每排是12、10、7、5都不多不少，那么士兵的总数一定是12、10、7、5的公倍数。
12、10、7、5的公倍数是无限多的，可求出这四个数的最小公倍数：


最小公倍是：2×5×6×7＝420
恰好不超过500人。
因为12、10、7、5每种排法都少1人，可见士兵的总数比这四个数的最小公倍数少1，即：420－1＝419(人)。
  
12.吝啬鬼
  
莫里哀是法国著名的喜剧作家。在他的著名喜剧《吝啬鬼》中，主人公阿尔巴贡是个自私贪婪、爱财如命的人。他想娶玛丽亚娜，又嫌她带不来彩礼。
于是他将媒婆找来，那媒婆投其所好，把玛丽亚娜大大的夸奖一番：



不是出来了吗？”
媒婆的这段话，可看作一道数学题。你能根据媒婆的话，知道阿尔巴贡想要多少彩礼钱吗？

玛丽亚娜不赌钱可少输：

彩礼的总数可图示如下：

可知阿尔巴贡想要彩礼的总数是：



＝12000(法郎)
  
13.智进敌巢
  
在《深山剿匪记》中，有这么一段故事：
一批残匪在面临灭亡的前夕，躲进了深山老林，他们凭借高山狭谷负隅顽抗，我军数次强攻不下，那“一夫当关，万夫莫开”的险要地形，使得这批匪徒有恃无恐。
靠强攻硬取，显然难度极大。如果趁敌人扫荡归山时混进内部，也不容易。敌人层层设卡，从内外出要有特别通行证，从外入内要交“进山证”，进山证是一次性的。入第一道岗，撕去证票一半，进入内山便全票收回。临时外出便发给特别通行证。
后来，我军通过内线搞到两张进山证。凭着这两张进山证，班长等三个人进入了内山，并且相继有十余个战士也混进了第一道岗哨。
在敌人毫无觉察的情况下，突然枪声齐鸣，内外夹攻，迅速地缴下了敌人的武器，把全部敌人一起俘获。
想一想，我军是怎样利用两张进山证，派三人进入内山，并且又相继混进去那么多战士的？
解：班长化妆后先拿着进山证，进入内山后借口有事外出，领取了一张“特别通行证”，出了山外。把特别通行证交给第二个人。
第二个人用特别通行证过了第一道岗哨，进内山时，用去进山证的一半，此时他还有另一半。进入内山时，也借故外出，又领了一张特别通行证。出山后交给第三个人。
第三个人用同样的方法也得到一张特别通行证，这样，他们便有了三张通行证。
而后，每次进山三人，再出来一人，把三张通行证都带出，再进三人，再出一人……这样，就可以有无数个战士混进第一道岗了。
  
14.分卖合卖
  
倩倩说，一天她看到一个有趣的场面：
一个卖鸡的青年，共有30只母鸡和30只公鸡，公鸡5元3只，母鸡5元2只。
一群买鸡的人，问明了卖价后，有个老人说：“既然母鸡5元2只，公鸡5元3只，那就干脆公鸡、母鸡合一起卖，10元钱买5只，我都买下了，省得啰嗦。”
青年一想也对，何不整账整算，一次卖清，自己也省事儿。
于是，便按老人说的办法，把60只鸡全部一次卖清。
他总共卖得的钱数是：
10元×(60÷5)＝10元×12＝120元。
可是，人们走后青年又重新合计了一下，他迷惑了，公鸡和母鸡分开卖和合在一起卖，并不相等。
如果分开卖。他应该得到的钱数是：
公鸡应卖钱数是：
5元×(30÷3)＝5元×10＝50元
母鸡应卖钱数是：
5元×(30÷2)＝5元×15＝75元
总计：50元＋75元＝125元
但是刚才合在一起却只卖120元呀！
使他想不通的是：为什么少卖了5元？
解：事实上，公鸡5元3只、母鸡5元2只，与公鸡母鸡合在一起卖10元钱5只是不相同的。
正确的算法是：
公鸡3只5元，每只价是：

母鸡2只5元，每只价是：

公鸡、母鸡若合在一起卖，每只平均价是：


＝21/12(元)
公鸡30只，母鸡30只，合在一起是60只，总价钱应是：

＝125(元)
  
15.卖蟋蟀
  
我国古代曾流行“斗蟋蟀”游戏，一些吃了饭没事干的少爷公子们，还利用斗蟋蟀的胜败进行赌博。
这样，就有了买卖蟋蟀的交易。
一位老人把抓到的90只蟋蟀，分给三个儿子，让他们到蟋蟀市场卖掉。
老人为了考考三个儿子的智力。对他们说：“我这儿有90只蟋蟀，你们拿去卖掉。老大拿50只，老二拿30只，老三拿10只。卖价高低随你们自己定，但三人卖的价钱要统一，卖的钱数必须是50个铜元。”
弟兄三人领走了蟋蟀，好不愁人，蟋蟀相差这么多，卖价要一样，总钱数也要相等，该怎样卖才符合老父的叮嘱？
他们一路走，一路商量。
最后还是聪明的老三想出了办法，他把自己的想法一说出来，立刻得到老大、老二的赞同。
于是他们高高兴兴的来到蟋蟀市场。
最后，果然卖价统一，总钱数相等。便带着各自卖的50个铜元，眉开颜笑的去见父亲了。
亲爱的读者，你可知道他们是怎么卖的吗？
解：弟兄三人是这样卖的：
他们各人将自己的蟋蟀按优劣分组出售。把最好的留作余数。每7只作一组，于是各人的蟋蟀余数是：
老大的：50÷7＝7……1
老二的：30÷7＝4……2
老三的：10÷7＝1……3
每组的7只只整批不零卖，每组5元。剩下的上等蟋蟀，每只15元，少钱不卖。这样，老大卖的钱是：
5元×7＋15＝50元
老二卖的钱数是：
5元×4＋15元×2＝50元
老三卖的钱数是：
5元×1＋15元×3＝50元
正好符合老人的要求：价钱要统一，总钱数要相等。
  
16.鸡蛋总数
  
从前有个农妇到集镇去卖鸡蛋，回家后，家人问她一共卖了多少个鸡蛋。农妇说：“没有数，只记得今天遇到的几个买主很有趣。”接着，他讲述了全部过程：
遇上的第一个人，买了全部鸡蛋的一半又半个；后来的一个又买了余下的一半又半个。第三个人又买了篮里余下的一半又半个，最后来的一个人把篮里的鸡蛋全部买去了，他买的鸡蛋数又正好是第三个人买后余下的一半又半个。
可是家里的人，谁也算不出是多少个鸡蛋。
小朋友，你能帮他算算吗？
解：解决这样的问题，必须从结果倒推上去：
第四个人买的是第三个人买后余下的“另一半”又半个鸡蛋，可见篮里只有一个鸡蛋了。
即：
第三个人买后余下：0.5×2=1(个)
第二个人买后余下：(1+0.5)×2=3(个)
第一个人买后余下：(3＋0.5)×2=7(个)
篮里共有鸡蛋：(7+0. 5)× 2＝ 15(个)
  
17.紧急任务
  
连云港港口武警部队一天接到一个举报电话：在距营部10公里的海岸上，有一贩毒团伙。上级指示，必须派60名战士一小时内赶到现场。如果步行约需2小时，乘汽车也需20分钟。但当时只有一辆能坐30人的汽车，如果分两次运，来回需4趟，也超过了规定时间……
“绝不能让这伙危害人民的坏蛋溜掉。”战士们同仇敌忾。
情况紧急，怎么办？
战士们七嘴八舌，想不出办法。
“有了！”一直在沉思着的指导员忽有所悟的说：“还是乘汽车！按我的办法，60个战士保证可以准时到达！”
指导员想了个什么办法呢？
解：指导员的办法是：
先用汽车送走30名战士，车行15分钟后，战士下车步行前进。汽车返回再运余下的30名战士，直至出事地点。
这样，60名战士便可在1小时内全部赶到出事现场。
  
18.童话里的狗
  
《皇帝的新衣》很多小朋友都读过了，谁能不被那奇特的故事、曲折的情节所吸引！它的引人魅力来源于丰富的想象。
这篇童话是丹麦作家安徒生写的。
他在另一篇《打火匣》里，写了三条狗的故事，也令人叫绝！
他写道：
“……打开第一道门。哎呀！那儿坐着一只狗儿，它的眼睛有茶杯那么大，正在瞪着他。‘你这个好家伙！’兵士说……他走进第二个房间里去，哎呀，这儿也坐着一只狗，它的眼睛大得简直像一对水车轮……随后，他就走进第三个房间里去……乖乖，这可真有点骇人！这儿的一只狗，两只眼睛真正有圆塔那么大！它们在它的脑袋里转动着，‘晚安’兵士说。他把它抱下来放在地上。”
这三条狗，在实际生活中谁也没有见到过，因为，我们用数学的方法，将它们估算一下，它们都大得惊人！
假定普通狗体重20千克，眼的直径是2厘米，茶杯的直径是8厘米，水车轮直径是4米，圆塔直径10米，你能估算出这三条狗的重量吗？
解：因为要求只是估算，所以可以把狗眼的直径和狗的体积近似的看作成正比例。我们可以先求出它们的体积比。
第一条狗与普通狗体积的比是：
83∶23=512∶8=64∶1
第二条狗与普通狗体积的比是：
4003∶23=64000000∶8=8000000∶1
第三条狗与普通狗体积的比是：
10003∶23=1000000000∶ 8=125000000∶1
我们把狗的体重与它们的体积也近似的看成正比例，那么，
第一条狗体重是：
20千克 × 64=1280千克
第二条狗体重是：
20千克×8000000=160000000(千克)
=160000吨
第三条狗体重是：
20千克×125000000=2500000000千克
=250万吨
世界上哪有这么大的狗！真是不算不知道，一算吓一跳！
这么大的狗，士兵却能“把它抱下来放在地上”，这士兵的力气更大得令人惊奇了！
可是，类似这些生活中根本不可能、不存在的事情，却并不是安徒生的疏忽，而是他有意地运用了夸张手法，运用丰富的想象，有目的地扩大或缩小事物的形象特征，使表达的效果更加强烈。
  
19.植树比赛
  
每年的植树节同学们都进行植树比赛。
今年的3月12日，四年级和五年级负责在一条公路的两旁栽树。
当五年级同学赶到时，四年级已经栽了3棵。
五年级同学端详了一下：“你们负责左边的怎么栽到我们这边来了？”
果然栽错了！
“没关系！可以算得清的。”四年级倚仗他们人多，很不在乎。于是移到另一旁从头栽起。
有的挖坑，有的灌水，说说笑笑，干得热火朝天，结果五年级先栽完。为了发扬团结友爱的精神，又帮四年级栽了6棵，便全部栽完。
五年级同学非常自豪的说：“怎么样？还是老大哥行吧，咱们虽然栽得晚些，却仍比你们多栽 6棵！”
四年级同学说：“不对，你们只比我们多栽3棵！因为你们右边有我们先栽的3棵！”
可是五年级偏说：“多栽6棵。”四年级则坚持6棵再减去他们先栽的3棵，只多3棵！”
每棵树的株距都是相等的，但那么长的公路，谁还愿意去一棵一棵的数一遍呢！
那么究竟五年级多栽几棵呢？
解：假定公路左右两旁都栽了100棵树。
五年级栽了97棵后又栽了6棵，共103棵。
四年级在右边只栽了94棵，加上在左边的3棵，总共栽97棵。
所以，五年级实际多栽6棵(103-97=6)树。
  
20.物不知数
  
华罗庚是世界著名的数学家。他出生在江苏金坛。是金坛县中学第一届初中毕业生。
华罗庚在读中学时就显露了他的数学才华。
有一次数学老师王维克讲了一道历史难题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三，七七数之剩二；问物几何？”
王老师说：“这是历史上的一道名题，出自古老的《孙子算经》。后来传到了国外，不知引发了多少数学家的兴趣，也不知绞尽了多少人的脑汁……”
这时课堂上寂静无声，同学们一个个紧张而困惑地思考着。
忽然，一个同学站起来回答：“23！”
大家的目光齐刷刷的集中在那个同学的身上。
他，就是一向不大惹人注意的华罗庚。
王老师十分惊讶，忙问：“你是怎么算出来的？”
华罗庚不慌不忙的讲出了自己的解法。
王老师听了连声称赞：“算得巧，算得巧啊！”
你知道华罗庚是怎样计算的吗？
解：“物不知数”问题，还被称作“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“韩信点兵”、“神机妙算”等等。国外称作“孙子定理”或“中国剩余定理”。
华罗庚说：“我是这么想的：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三。二十三用五去除余数又恰好是三，所以二十三就是这个题目所求的数。”
明代数学家程大位在他的《算法统完》里有一道解这类题的口诀：
三人同行七十稀，五树梅花少一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。
意思是：用三数余1作70，用五数余1作21，用七数余1作15(半月)。将各数和求出后再减去105，便求得。
其中70是5、7公倍数中被3除余1的数；21是3、7公倍中被5除余1的数；15是3、5公倍数中被7除余1的数。105则是3、5、7的最小公倍数。如果得数较大，可以连续减去105。
依此，上题可列式为：
70×2＋21×3+15×2=233
233-105-105=23。
  
21.高斯算法
  
哥根廷大学的校园中，矗立着以正十七边形为底座的塑像，他，就是被誉为欧洲的数学王子、德国数学巨星高斯。
高斯在读小学时，解了一道著名的数学难题，传为佳话。
一天，不知是谁得罪了数学教师，使全班同学受到惩罚。老师怒气冲冲命令全班：
“今天，你们给我计算 1加2加3加4……一直加到 100的总和，算不出来，不许回家吃饭！”
说完，老师坐到一旁，独自看书去了。
同学们都乖乖的埋头写呀，算呀……一个个忙个不停。
当老师刚打开书，准备翻看时，一个小孩拿着写有解答的小板站到他的身旁。
“老师，我做完了，你看对不对？”那孩子说。
做完了？这么快就做完了？老师连头都没抬，连连挥手说：“错了，错了，回去算算。”
可那孩子硬是犟，站着不走，硬说他的答数是对的。
老师定神一看，不禁吃了一惊，小石板上端端正正的写着5050！一点没错！
这孩子就是高斯，老师再细看他的算式，就更加惊奇，他用的竟是一种独特的解法！这种方法比一个数一个数的相加当然快捷，省时。
你能知道高斯是怎么计算的吗？
解：高斯分析了这些加数的特点，他不是用逐个连加的方法，而是从两头相加，把加法变成乘法来做的：
1+2+3+…………+99+100
=(1+100)＋(2＋99)+……＋(50+51)
=101×50
=5050
这个式中，101是“首项”与“尾项”的和，50是100(项数)的一半。据此，可列成公式：
连续数的总和=(首项+尾项)×(项数÷2)
如果相加的连续数的项数是奇数，还可以更简便为：
总和=中间项×项数
如：

=15×7
=105
  
22.韩信分油
  
韩信是汉代的大将，小时候便爱动脑筋，聪明过人。
传说有一天，街上的两个卖油人正在争吵不休。路过这里的韩信，出于好奇，呆呆地看着。他终于明白，原来这两个人合伙卖油，因意见不合，准备把油桶里还剩下的十斤油平分后各奔东西，又为了分油不均而争执不下。
韩信仔细端详着，他们手头没有秤，只有一个能装3斤的油葫芦和一个能装7斤的瓦罐。他们用油桶倒来倒去，双方总不满意，因而吵嚷起来。
有没有办法把油分精确呢？
韩信面对两个各不相让的卖油人和眼前的油桶、瓦罐、油葫芦，默默沉思着。
忽然眼前一亮，大声说：“你们不要吵了，没有秤，也能够分均匀！”
说着，他把办法告诉了卖油人。
按照韩信的办法，两个人重新再分，果然都很满意。
解：先用油葫芦连装三次，共装9斤，将7斤的瓦罐注满后，油葫芦里还剩2斤。然后将瓦罐的7斤再全部倒入油桶，这时油桶里是8斤油。再将油葫芦内的2斤油全部倒进瓦罐。最后用空葫芦在油桶里灌满(3斤)，倒进瓦罐。这样，油桶里剩下的油和瓦罐中装的油都正好是5斤。双方各分其一，恰好各人所得完全相等。
  
23.共来多少客
  
传说有个人因为不讲究说话艺术，结果引起误会，把好事办坏了。
一天，他大摆宴席，请来了一些客人。他看有几位客人还没到，就自言自语地说：“怎么该来的还不来呢？”
客人们听了，心想：“这么说，我们都是不该来的啦！”于是，有一半人悄悄走了。
他一看人走了许多，十分焦急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”
剩下的人一听，已走的都是不该走，那么，该走的倒是我们了。于是，又有三分之二的人离开了。
这人一见客人都陆续不辞而别，急得直拍大腿，连连说：“这，这，我说的不是他们！”
最后剩下的 3人一听，心想：“那定是说我们了！”于是，一个个也拍拍屁股抬腿告辞了。
结果，所有的客人都走光了。
主人见此光景长叹一声，自怨自叹地说：
“不会说话愣请客，鸡鸭鱼肉全白做。”
请问，开始时共来多少客人？


最后余下的3人，相当于总数的：


  
24.分配鱼钱
  
李老汉和张老汉在河里打鱼，眼看天已过午，便决定煮鱼充饥，于是李老汉拿出5条鱼，张老汉拿出4条鱼，他们在河边煮好了鱼，刚要吃时，有个又饥又饿的过路人，走过来，说，自己实在饿得不行，在这漫野荒郊也找不到饭店……那副可怜巴巴的模样实在令人同情，两个渔翁便同意三个人一块儿分享，于是每人吃了3条鱼。
过路人非常感激，留下了3.6元钱，继续赶路了。
如果按各人拿出鱼的数量分配这3.6元钱，李、张二人该各得多少呢？
解：显然这是道按比例分配的问题。
有人这么想：
李老汉5条鱼，张老汉4条鱼，鱼的数量比也就是钱数的比，因此3.6元钱应5∶4分配给两人。
于是列成了下列算式：

=2元


=1.6(元)
实际若这么计算就错了！因为总数是9条鱼，每人吃了3条。过路人吃的3条鱼中有2条是李的，只有1条是张的。过路人留下的3.6元钱应按2∶1分配给李、张两人。
正确的算法应该是：

=2.4元

=1.2元
  
25.打捞铁牛
  
“曹冲称象”的故事，大家都比较熟悉，可是“打捞铁牛”的故事却很少有人知道。
事情发生在很久以前的宋代。
永济县的城门口贴了一张醒目的官府“告示”，上面写着：
黄河泛滥，城外浮桥冲毁。两岸拴桥的八大铁牛亦卷入水中。
为重建浮桥，镇住洪水，有能将铁牛一一捞出者，赏银千两……
告示前围着一堆人仰头观看，议论纷纷。人们常说“重赏之下必有勇夫”，可是“赏银千两”，虽是重金，却没有勇夫。
一条铁牛数千斤重，那时候又没有现代起重机，谁有这么大的力量，能把铁牛拖上来？更何况铁牛还沉没在水下！
有人说：“除非等水退下了，叫几百个人去抬……”
“眼下洪水泛滥，没有铁牛镇住……怎么能等到河水干涸呢？”
官府担忧，百姓也心急。
告示贴出多日，无人敢揭榜应召。
一天忽然来了个穿着宽大法衣面目清瘦的和尚，他认真地读了几遍告示后，便捋起衣袖，伸手揭下告示，将它折叠起来，从容地拿走。
围观的人看着这位身体单薄的光头和尚，一片惊疑，有人鄙夷地问道：“师父，你揭榜是去捞铁牛吗？”
这话还用问吗？和尚没有回答。
有人好奇地问道：“一个铁牛几千斤，八个铁牛数万斤重，师父，莫非有神仙帮助你捞吗？”
和尚淡淡一笑，说：“铁牛是被水冲走的，我就让水再把它送上来。”
这神神秘秘地回答，更让大家捉摸不透。
打捞铁牛的那天，围观的人群黑压压一片。
只见那个光头和尚，请了一些助手，撑着两只木船，果然把铁牛把一个个捞了出来。
后来人们才知道，这位和尚就是著名的工程学家怀丙。
你能知道怀丙是怎样把铁牛从水里捞出来的吗？
解：怀丙和尚的方法是：
将两只木船装满泥沙，直至重量使船舷稍高出水面，并在两船之间横拴着一根粗大的木料，将船划到铁牛沉没的水上停下。
再请水性好的人，带着绳索潜入水底，将绳的一端牢系在铁牛身上，另一端拉紧，绑在两船之间的木料上。
最后，叫人把船上的泥沙扔到河里，这样船的重量减轻了，靠水的浮力，船舷便逐渐高离水面，从而通过木料上的绳索把铁牛提起，吊在水中。这样划动船浆，铁牛便被拖到新建浮桥的地方了。
  
26.野炊
  
毕业前夕，少先队举行了一次野营活动。大自然的美妙景色，深深地吸引了每位同学。远山、近水、绿草、红花，连空气都净洁、清爽。大家采标本、听故事、唱歌、说笑，忘记了疲劳和饥饿。
中午开饭时，中队长到负责后勤的老师处领碗。老师问：“你们中队多少人？”
“一共36个。”中队长回答。
后勤老师说：“你自己来取，按一个人一个饭碗，两个人一个菜碗，三个人一个汤碗，不准多拿。”
可是中队长被难住了，算了好半天，也不知该领多少个碗。
你能帮帮中队长吗？
解：我们可以这样想：如果按6个人一组，每组需要饭碗6只，菜碗3只，汤碗2只，这样每组就需要6＋3+2=11只碗。
全班共有36人，可以分成6组，因而一共需要领碗：
(6+3+2)×(36÷6)=11×6=66(只)
也可以这么想：

这样，全班36人共需的碗数用下式可求出。

=66(只)
  
27.奇特的墓碑
  
古希腊是世界文明古国之一。公元3世纪时有位数学家叫丢番图，关于他的生平经历，人们无从得知。但是他的墓碑却留下了可贵的资料。这块奇特的碑文，如同谜语，又是一道数学题。碑文的大意是：
过路人：这儿埋着丢番图的骨灰。下面的数目可以告诉你，他的寿命究竟有多长：
他一生的六分之一是幸福的童年。再活了十二分之一，面颊上长起了细细的胡须。丢番图结了婚，还没有孩子，又度过了一生的七分之一。再过五年，他感到很幸福，得了头生儿子。可是命运给这孩子在这世界上的光辉生命仅有他父亲的一半。儿子死了以后，这老头儿在深深的悲痛中又活了四年，也结束了尘世的生涯。
请告诉我，丢番图究竟活到多大岁数，才和死神相见。
这块奇特的碑文，数千年来一直引起人们的极大兴趣。根据这个碑文，人们已经把这位伟大的数学家年龄、家庭经历都一一推算出来。
如果你发现了这块碑，是否也会推算？
解：设丢番图活了x岁，则：




根据题意，可列如下方程：

x=84      
由此可知，丢番图的生活经历是：


没有孩子夫妻生活了：

生孩子时的年龄：21＋12＋5=38(岁)

儿子去世时丢番图年龄：38+42=80(岁)
丢番图见死神时年龄：80＋4=84(岁)。
谜一样的墓碑就这样被解开了，尽管岁月沧桑，淹没历史，但是，这位古希腊数学家一生的重要时刻，我们总算能略知大概。
  
28.科学施工
  
宋代真宗在位时，传说皇宫曾遭到一次大火，一夜之间，繁华壮丽的宫室楼台殿阁亭榭变成了一片废墟。
大火之后，宋真宗派晋国公丁谓主持修缮工程。
皇宫地处整个城市的腹心位置，人口密集，交通拥挤，面对这项重大工程，必须解决三大问题：第一，要把大火留下的大量废墟垃圾进行清理；第二，要运进大批的木、石等建筑材料；第三，要有大量的新土供施工使用。而且在施工过程中不能影响城内的交通和生活秩序……
面对这些复杂而棘手的问题，丁谓反复思索，终于设计出一套科学的施工方案，十分圆满地解决了问题。
请你也设身处地考虑一下怎样才能把上述问题妥善解决？
解：丁谓的施工方案是：
首先，从施工现场向外挖了若干条大深沟，把挖出来的土作施工备用，解决了新土问题。
第二步，把汴河水从城外引入新沟，新沟便成了一条水上运输线，木料、石料便可用木排和船运进建筑工地，解决了运输问题。
第三步，建筑材料备好后，便将大沟中的水排出，把废墟垃圾填入沟中，使大沟重新成为平地。
于是，下一步便可按部就班地进行施工了。
这个施工方案蕴含着运筹学的思想，不仅节约了时间和经费，还保证了工地秩序有条不紊。
  
29.检验王冠
  
传说古希腊的国王，想制一顶与泰尔的王冠一模一样的纯金王冠，便召见一位高明的首饰匠，向他说明了旨意，并如数让他称走了黄金。
过了一段时间之后，首饰匠如期将王冠交来，外表金碧辉煌，确实与泰尔的王冠完全相同，重量也恰如取走的黄金。国王按照自己原先的许诺，给了首饰匠重重的奖励。
但是那个首饰匠的举止行动像个骗子，被取去的黄金会不会偷换下来而掺进了别的金属？面对这个金色的王冠，国王的心一下子冷了！但是不把王冠熔化，又怎能判定黄金中是否掺了假？这么美丽辉煌的王冠，又怎么舍得再熔化？国王被这个难解的疑团日夜缠绕，寝食不安，终于卧病不起。
最后，他召见了阿基米德。
阿基米德是当时最著名的智者。国王把这个难题交给了他：必须检验王冠是不是纯金制造，却又不准损坏王冠的一丝一毫。
阿基米德苦思冥想，把所有想到的办法，都作了尝试，然而仍不能揭开王冠的秘密。他忘记了饮食、睡眠，忘记了洗澡、治病，痴痴迷迷，连梦中都叨念着：“王冠……国王……首饰匠……银子……金子……”
几个星期以后，阿基米德蓬头垢面，妻子把他赶进了浴室里。
当阿基米德浸入水中之后，突然感到自己的体重减轻了，只要轻轻用力，身体就能浮起……此时，他满脑袋的仍是王冠……国王……首饰匠……金子……银子……。身体一会儿沉下，一会儿浮上，浴盆的水位也一会儿升，一会儿降……
阿基米德忽翻身跳起，大声高呼：“有办法了，有办法了！”连衣服也没穿，光着身子直向王宫奔去，路上留下一条湿漉漉的足迹……
你知道，阿基米德从水的浮力中得到了什么启示吗？
解：阿基米德根据身体在浴缸中沉浮引起了水位升降的道理，取了一只盛满水的容器，将王冠放进水中，容器里的水必然溢出。他把溢出的水收集在另一个容器里。
接着他将一块与王冠同样重的纯金，也放进那个盛满水的容器中，再把溢出的水收集起来。
如果王冠是纯金制成的，那么两次溢出的水应该同样多，可是王冠排出的水，与纯金排出的水并不同，说明王冠中掺进了比重与纯金不同的材料，从而断定金冠中被掺了假。
阿基米德终于解决了难题。狡诈的金匠因此受到了惩罚。
  
30.王冕取环
  
元代的大画家王冕，小时候家境贫苦，没有书读，常常独自躲在学堂门外，听先生讲课。他聪明刻苦，放牛时，牛儿去吃草，他便独自在池边用树枝作笔，大地为纸，临摹池中荷花。最终成为远近闻名的大画家。
传说，他小时曾为一个财主当雇工，讲明的条件是：每月以一个银环作工钱。
当王冕做完了一个月工作后，财主却拿了一串银环出来，在他面前晃了晃，说：“喏，这都是你的工钱，但是有个条件：这七个银环只准断开其中一个，你每月也只能取走一个。当月付清当月的工钱，不拖不欠。假如你违反规定，不但捞不到工钱，还要把已经付出的全部收回。”
王冕一听，这显然是在刁难他。但是穷人又上哪去讲理？他只得答应照办。
为了挣钱活命，他每天一面给主人辛勤劳动，一面思考着怎样才能按月取走工钱。
后来，他终于想到了办法，在七个银环中只断开一个，以后每月都如数地取走一个银环的工钱。
王冕用了什么办法呢？
解：
王冕取第一个月的工钱时，断开了第三个环。并将第三环取走。
第二个月将第一个月取走的银环退回，换走第一、二两个连接在一起的银环。

第三个月再把断开的那只银环取走。
第四个月用前三个月领得的三个银环，换回4、5、6、7四个银环。
第五、六、七几月的取法分别与第一、二、三月取法相同。
  
31.牧师的诡计
  
一次海上航行，突然遇上了风暴。木船在汹涌的波涛中摇摇欲坠。船上的24名乘客顿时惊慌失措。
为了保全性命，乘客们把所有的行李都抛入大海，以减轻船的重量，但是被巨浪击坏了的船舱，仍然载不起那么多的乘客。根据船体情况判断，人员超重太多。这就是说，要么所有的人同归于尽，要么把一部分人抛进大海，这样另一部分人还有得救可能。
商议的结果，大家一致同意第二种意见，即一部分人跳海。可是却又没有人主动跳海。
乘客中有十五个基督教徒和一个牧师，他们也不愿主动跳海。
最后大家公推牧师想办法。
那位牧师为难地皱着眉头，两手一摆，说：“死生由命，听耶稣的安排吧！咱们围坐成圆形，依次1、2、3循环报数，凡报‘3’的，就应被抛进大海。”

众人想，不这么做反正也是死，便都同意了。
于是牧师把乘客们安排成圆环坐好，指定一人先报“1”，接下去1、2、3、1、2、3，一直排下去。就这样，凡报到“3”的都被无情地抛进汹涌海浪之中，上帝的旨意，谁也不能违抗。
直到最后只剩下16个人，全部都是基督徒。
那些无知的人，以为真是命里注定的。谁也不曾想到这一场性命的赌博，却是牧师用他的数学知识在安排坐次位置上埋下了诡计。
解：牧师在安排座位之前动了一番脑筋，他把基督徒全部排在24个数中1～3循环，总是轮不到“3”的位置上。(如图)


  
32.“金锁链”的数学
  
“金锁链”又叫“环球通讯”、“横传信函”等，它的创始人据说是美国的一个失业青年。
这位青年穷困潦倒，流浪社会，最后身上只剩下1美元的钞票，眼看就要活不下去了！
为了生存，他时刻考虑着怎样赚钱。
最后，他忽发奇想：利用他的数学知识，以1美元作资本，作一次环球通信，从而摆脱了困境。
做法大体是这样的：
他用1美元买了信封、邮票，向他了解的人发出10封信，信中要求：
凡是接到信的人，五天内再按照同样要求和内容，发给自己所了解的人10封信，并给排在前三位的人每人寄去3美元，同时去掉第一位，并把自己的名字排在前10人的后面。以后，第二批人、第三批人再接到信，仍然都照此办理，如此无限地延续下去。
如果凡接到信的人都照办不误，没有中断，这样，参与的人都只投少量的钱，却可得到大笔的钱。假定写信人是第三批，当他升到第三位时可得到30美元，上升到第二位时可得到300美元，上升到第一位时便可得到3000美元。
他这样说法，有道理吗？
解：如果参加的人，人人都照办不误，从纯数学的角度上讲，是有道理的。
假定发起人排在第一位，他将收到10个人寄来的钱，共3美元×10=30美元。第二位、第三位每人也都得30美元。当第二批人发信时，去掉了原排在第一位的人，将自己排在末位。此时第二位上升为第一位，递升上来的第二、第三位每人都应得到3美元×10×10=300美元。
当第三批人发信时，第一至第三位每人都应得到3美元×10×10×10=3000美元，此时再去掉第一位。将写信者补排在末位。
到第四批人发信时，最初次排在第三位的，已上升到第一位，此时他便得到3美元×10×10×10×10=30000美元。
事实上，因为种种原因，不可能人人都照办不误，而且越到最后，越是大批的人向外掏钱，只有少数几人能够得利。
以每人发5封信为例如下图：


有人为了迫使参与人照规定办，甚至赌咒发誓，用迷信来威吓恫吓，使得这一活动荒诞不经，毫无意义了。
  
33.玩具猫之谜
  
两位美国专家去埃及参观金字塔。
一天，工程专家独自在街头闲逛，忽见一个老妇人卖一只非常精致的玩具猫。标价500美元。
那老妇人说：“这是自家祖传宝物，眼下只因孙子病重，无钱住院，才不得已拍卖的。”
专家用手掂了掂，猫体很重，全身黑色，像是黑铁铸成，一双眼炯炯有神，凭着他丰富的知识，断定这两只眼确实是两颗货真价实的珍珠。
工程师说：“我只买下两只猫眼，给你300美元，可以吗？”
老妇人同意了。
工程师高兴地回到宾馆，对同伴说：“我只花了300美元，便买下了这两颗硕大的珍珠。”
这位同伴是个逻辑学家，见这两颗大珍珠，少说也值上千美元。便问：“是怎么回事？”
工程师如实讲述了事情的经过。
听完了工程师的叙述后，逻辑学家二话没说，飞快地奔向街头。
一会儿工夫，拿着那没了双眼的黑猫回来了。
“多少钱？”工程师问。
“200美元。”逻辑学家答，“标价500，已卖300，再给她200美元，卖主不是如愿以偿吗！”
工程师不禁嘲笑地说：“你真愚笨，这没了双眼的铁猫，怎么能值200美元呢？”
逻辑学家没说话，只是用手不停地掂摩他的黑猫。
“上当了吧？”工程师仍不停地说三道四。
逻辑学家胸有成竹，态度从容，只是不说话。突然他灵机一动，拿出小刀，细心地刮着猫脚。当一层黑色脱落后，他一阵惊喜：“你瞧，我上当了吗？”工程师一见，惊得目瞪口呆，原来愚蠢的正是自己，赚了大钱的却是逻辑学家。
你知道，这是为什么吗？
解：原来这只黑猫通体是用纯金铸就的。铸造这只金猫的主人，怕金身暴露，便用黑漆将猫身涂盖起来，外表酷似黑铁。
工程专家虽然知识渊博，能识别真假珍珠，可是他缺乏逻辑学家的思维艺术，分析、判断不全面不深入。
在逻辑学家看来，玩具猫是个整体，既然猫眼是用珍贵的珍珠做成，那么猫体不会用黑铁这种不值钱的金属铸造，表面的颜色很可能是假象。事实证明逻辑学家的判断是正确的。
  
34.什么、多少
  
一天，商店的王伯伯讲了一个有趣的故事。他说：“有一次，来了一个奇怪的顾客，问他买什么，他不说名称，却顺口说了一道谜语：
大哥说话先喝水，二哥说话先挨刀，
三哥说话口流油，四哥说话雪花飘。
“我本来就是个猜谜能手，”王伯伯自豪地说，“他哪能难住我！我便拿出了他要买的四样东西，问他各要多少，他随口说了个顺口溜：
一支半、两支半，
三支半、四支半
再加八支请你算。
我又如数的清点出来。
“一共多少钱？”他终于说话了。
王伯伯说：“这回轮到我难他了，多少钱么——
一二三，三二一，
一二三四五六七，
七加八，八加七，
九加十分加十一。
这些数，先算好，
再乘三十一便知晓。
不料，这人头脑真灵，只一会儿功夫，便把钱如数清点给我了。”
小朋友，你能知道来人买的东西、数量和花的钱数吗？
解：来人买的四样东西是：钢笔、铅笔、圆珠笔、粉笔。笔的数量和价钱用的都是加法。共20支。共用钱31元。
  
35.考儿媳
  
传说清代有位田大人，因老伴体弱多病，他决定在儿媳中选一个精明能干的代管家务。
他有四个儿子，只有小儿子尚未娶亲。
一天正是二月二儿媳妇回娘家的日子，田大人吩咐三个儿媳说：“大媳妇回去住半个月，来时给我捎回二斤骨包肉；二媳妇回去住三五天，回时捎二斤肉包骨；三媳妇回去住七八天，回来时稍二斤没肥、没瘦、没骨、没肉来。你们一起走，同时回，谁也不能耽误！”
在旧社会，长者的话就是命令，谁都不能违拗。
三个儿媳一同回娘家，岔路口要分手时，约定在这里等齐一块回家。可是仔细一想，有的住半个月，有的住三五天，有的住七八天，怎能在同一天回来呢？再想想公公要捎回的东西，那么奇巧，到哪里去寻？禁不住坐了下来唉声叹气。
一会儿有位过路的聪明姑娘，见状忙问：“三位嫂子是什么事这么愁眉苦脸泪眼汪汪的？”
妯娌三人便把公公吩咐的话如实相告。
不料，那位姑娘说：“这有什么难的？”说罢，便入情入理地讲了出来。
妯娌三人听了顿时眉开眼笑，十分感谢姑娘的指点，便问那姑娘：“姓什么？家住哪？”
那姑娘嫣然一笑，说：“我姓一月二十九，到期我就走，家住二三里，空空树，门前有个磕米虫，房上有根空心柱。”说罢，飘然而去。
后来三个媳妇准时回家，并按要求给公公捎来了他要的东西。田大人知道了是过路姑娘的指点，急忙托媒人找到那个姑娘提亲，姑娘答应了这门亲事，不久做了田家的四儿媳妇，代替婆婆掌管了家务。
请问，这姑娘姓什么？家住哪？他向三位媳妇说了些什么？
解：从“一月二十九，到期我就走”，推知姑娘姓“赵”，因为二十九是小月，小月加走，便是“(赵)”。
“家住二三里”，二三得六里，“空空树”，即树中空，是“村”，是说姑娘在“六里村”。“磕米虫”是碾子，“空心柱”是烟囱，是说她家门前有盘石碾，房上有个烟囱。
姑娘向三妯娌说：“半月是十五天，三五一十五也是十五天，七加八也是十五，公公是要他们住十五天便回来，大媳妇带二斤核桃，二媳妇带二斤红枣，三媳妇带二斤猪血。”
  
36.阿基米德的墓
  
当叙拉古与他的盟国罗马共和国分裂后大动刀兵时，阿基米德已到了晚年。
当时面对气势汹汹前来围城的罗马舰队，阿基米德负责城防工作，他不与敌人作正面的武力较量，而是用自己的智慧与敌人周旋。敌人的军舰兵临城下，摇旗呐喊，他却用自己高超的智力设计出一种投火器，能将燃烧的物品弹出去烧毁敌人的船舰。又制造一种起重机械把敌人的船只吊起掀翻，打得敌人胆战心惊，以至后来敌舰不敢靠近城墙，只要看见城墙上出现像绳子之类的东西，便吓得迅速逃跑。
然而，长时间的围困，城内的供给终成问题，三年后城还是被攻破了！
据说，罗马的士兵入城时，统帅马塞拉斯出于对阿基米德的敬佩，曾下令不准杀害这位智力高超的贤人。
当时阿基米德仍在沉迷于数学的深思之中，一个罗马士兵突然出现在面前，命他到马塞拉斯那里去，这位伟大的爱国者怎肯向敌人低头呢？于是不幸死在了这个士兵的屠刀下。
另有一种说法是：当罗马士兵闯入阿基米德住宅时，见一位老人正埋头作图，士兵将图踩坏，将他拖走。阿基米德不顾生命安危，愤怒大喊：“不要弄坏我的图！”士兵拔出短剑，刺死了这个顽抗的老人。这位旷世奇才的大科学家，就这样被一双愚昧无知的手扼杀了！
消息传到罗马军统帅马塞拉斯的耳中，他十分悲痛，将那个士兵当作杀人犯进行处决，并为阿基米德修建了陵墓，立了墓碑。
随着时间的流逝，阿基米德的陵墓已被荒草湮没。一百余年后，有人在游历叙古拉时，在荒草中发现了一块刻有“圆柱容球”图案的墓碑，断定它就是阿基米德的陵墓，并重新作了修复。
你知道，发现者为什么根据圆柱容球图案便断定是阿基米德的陵墓吗？
解：阿基米德在他的许许多多科学发现中，以圆柱容球最为得意。生前，曾表示将它刻在自己的墓碑上。马塞拉斯在修建他的陵墓时，便根据他的遗愿在墓碑上刻上了“圆柱容球”的几何图案。
关于圆柱容球的定理是这样的：

如图所示，圆及其外切正方形绕圆中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何形体，称为圆柱容球。
在“圆柱容球”中，球的体积是圆柱体积的  ，球的表面积也是圆柱表面积的  。
这个定理的正确性可作如下证明：
设：圆的半径为R，球的体积为V球，圆柱的体积为V柱，球的表面积为S球，圆柱的表面积为S柱，则有，
V柱=底面积×高=πR2?2R=2πR3

S柱=侧面积+上下底面积
=2πR?2R+2?πR2
=6πR2

  
37.斐波那契数列
  
斐波那契是意大利的数学家。他是一个商人的儿子。儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚，在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识，从而对数学产生了浓厚的兴趣。
长大以后，因为商业贸易关系，他走遍了许多国家，到过埃及、叙利亚、希腊、西西里和法兰西。每到一处他都留心搜集数学知识。回国后，他把搜集到的算术和代数材料，进行研究、整理，编写成一本书，取名为《算盘之书》，于1202年正式出版。
这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结，它推动了欧洲数学的发展。其中有一道“兔子数目”的问题是这样的：
一个人到集市上买了一对小兔子，一个月后，这对小兔子长成一对大兔子。然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子，而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子，长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子。那么，从此人在市场上买回那对小兔子算起，每个月后，他拥有多少对小兔子和多少对大兔子？
这是一个有趣的问题。当你将小兔子和大兔子的对数算出以后，你将发现这是一个很有规律的数列，而且这个数列与一些自然现象有关。人们为了纪念这位兔子问题的创始人，就把这个数列称为“斐波那契数列”。
你能把兔子的对数计算出来吗？
解：可以这么推算：
第一个月后，小兔子刚长成大兔子，还不能生小兔子，所以只有一对大兔子。
第二个月后，大兔子生了一对小兔子，他有了一对小兔子和一对大兔子。
第三个月后，原先的大兔子又生了一对小兔子，上月出生的小兔子也长成了大兔子，他共有一对小兔子和两对大兔子。
第四个月后，两对大兔子各生一对小兔子，上月出生的小兔子又长成了大兔子，他共有两对小兔子和三对大兔子。
第五个月后，三对大兔子各生一对小兔子，上月出生的两对小兔子也长成了大兔子，他共有三对小兔子和五对大兔子。
……
以此类推，可知：每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数，每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和。
我们把大小兔子的对数写成上下两行，从买回小兔子算起，每个月后他所拥有的兔子对数便是：

仔细观察两行数发现它们是很有规律的：每行数，相邻的  三项中，前两项的和便是第三项。
有趣的是：雏菊花花蕊的蜗形小花，有21条向右转，有34条向左转，而21和34，恰是斐波那契数列中相邻的两项；松果树和菠萝表面的凸起，它们的排列也分别成5∶8和8∶13这样的比例，也是斐波契数列中相邻两项的比。
这个数列不仅在数学、生物学中，还在物理、化学中经常出现，而且它还具有很奇特的数学性质，真是令人叫绝！
  
38 .数学家高斯
  
高斯(1777～1855年)是继阿基米德和牛顿之后，世界上最伟大的数学家之一。在超几何级数、复变函数、统计数学和椭圆函数论等方面，都作出了十分重大的贡献。在天文学、测地学、电磁学等方面也取得很大成就，并联系这些工作建立了最小二乘法、曲面微分几何、势论等重要的数学理论。关于向量分析的定理、代数基本定理的证明、质数定理的验算等也作出著名的贡献。他还是非欧几何的创始人之一。
高斯出生于法国布伦瑞克的一个农家。早在童年时代，就表现出非凡的数学天才。3岁就学会了数学，10岁时就用简便计算回答了1到100连续相加的问题。1795年进入了他向往已久的哥廷根大学学习，1801年他的巨著《算术研究》问世，对后来的数学发展产生了重大影响。他的《曲面的一般研究》是微分几何发展的一个里程碑。他的著作很多，留下的遗著直到二战前夕，才由哥廷根大学的学者们研究整理，出版了高斯全集，共十一卷。
高斯一生中，培养了一些杰出的数学家。他对数学的深刻理解和深刻的数学思想，吸引了大批优秀青年为数学献身。高斯的形象成为数学告别过去走向现代数学时代的象征。人们称他为“数学之王”，便是表明他的成就和崇高威望。
1855年高斯在他的阿根廷寓所与世长辞了，后人给他的墓碑基石制成了正十七棱柱形。你知道，这是为什么吗？
解：从欧几里德时代起，人们就对正多边形的尺规作图问题进行了大量的研究。
正三角形和正四边形很容易只用圆规、直尺将图作出，对正五边形，人们也会用黄金分割的方法，用尺规作图，但当正多边形的边数是7、9、11、13、17、19时，能不能用尺规作图，却长期得不到解决。
1796年，年仅19岁的高斯却使数学界发生了一件轰动一时的新闻：一个两千多年来一直悬而未决的关于正十七边形的尺规作图难题，被他解决了！
把高斯墓碑的基石刻成正十七边形，正是纪念他在青年时代的最重要的数学发现。
1989年7月在高斯的故乡举行第30届国际数学奥林匹克赛，会徽也是正十七边形，中间镶着高斯的头像，同样是纪念这位为数学作出重大贡献的伟人。
  
39.算筹的故事
  
如果历史能够像电影胶卷那样可以倒转，我们将会看到——
三国时期，数学家刘徽席地而坐，他正在全神贯注地计算着圆周率。从圆内接正六边形，日复一日，直算到圆内接正192边形。他把圆周率算到了3.1410。帮他完成这些计算的，是手中那一把小棒棒。
南北朝时期，科学家祖冲之运用刘徽的方法，也在埋头计算。他把圆周率计算到了小数点后面第七位，并断定圆周率在3.1415926～3.1415927之间。这么精密的计算，也是靠着手里那一把小棒棒！
你也许要问：这神奇的小棒是什么？
说起这种小棒，人们还记得一次考古发现。
一九七八年八月，陕西省千阳县城东北的一个建筑工地，挖地基时意外地发现了一座古墓。考古学家认定是西汉时期的墓葬，从那里挖出了陶罐、古钱、铜镜、铜铃等等生活用品。令人奇怪的是，在墓主人的腰部还发现一个丝绢囊，里面装着一把像筷子样的小棒棒。但是，若真是筷子，为什么却又不和生活用品放在一起？墓主人把它系在腰间，可见是珍贵的。然而它既不是金银，也不是珍宝，仅仅是用一些兽骨精磨而成的。
后来经过考古学家认真研究，终于弄明了真相，并且发现它与算盘的发明有一定的关系。
你知道这是怎么回事吗？
解：原来这是古代的一种叫做“算筹”的计算工具。它可以表示任何自然数，还能够进行加、减、乘、除、乘方、开方等复杂的计算问题。刘徽和祖冲之用的正是这种称为“算筹”的小棒。
当时，人们对“算筹”是非常珍视的。木、竹、骨都可以制。为了减少反复制作的麻烦，方便携带，还专门做了算袋或算子筒。那位墓主人腰间的丝绢囊，正是装“算筹”的算袋。
随着社会的进步，生产的发展，需要计算的数字越来越大。“算筹”用起来就显得很不方便了。为了避免算筹的丢失，减少在地上摆放搬移筹棒的麻烦，人们便设法使“算筹”连结到一起，固定在一定的物体上。于是，便想出了用一粒粒算珠代替筹棒，用细棒把算珠穿起来，固定在木框上，用手指拨动算珠代替移动筹棒。这样“算盘”就发明了！
如果把“算筹”和算珠表示数的方法，作一比较，将会发现：它们是多么相似啊！
最初的算盘是什么样子，也无法知晓。明代初年的算盘，中间是一根细木片将上下珠隔开。明代中叶，横梁(隔片)才加固渐宽。明朝末年的算盘，已和近代相同了。

到了现代，人们为了减少拨珠清盘的麻烦，对算盘又作了一些改进。由原来上档两株变为一珠，并加上了清盘装置。算珠的形状、大小更适于操作。于是，古老算盘作为中华民族的瑰宝，仍以它特有的功能，与现代计算器并肩携手摆放在财会人员的办公桌上。
  
40.计算工具的历史
  
在漫长的历史长河中，随着社会的发展和科技的进步，人类进行运算时所运用的工具，也经历了由简单到复杂，由低级向高级的发展变化。这一演变过程，反映了人类认识世界、改造世界的艰辛历程和广阔前景。
现在我们溯本求源，看一看计算工具是怎样演化的：
1.石块、贝壳计数
原始社会，人类智力低下，当时把石块放进皮袋，或用贝壳串成珠子，用“一一对应”的方法，计算需要计数的物品。
2.结绳计数
就是在长绳上打结记事或计数，这比用石块贝壳方便了许多。
3.手指计数
人类的十个手指是个天生的“计数器”。原始人不穿鞋袜，再加上十个足趾，计数的范围就更大了。至今，有些民族还用“手”表示“五”，用“人”表示“二十”，据推测，“十进制”被广泛运用，很可能与手指计数有关。
4?小棒计数
利用木、竹、骨制成小棒记数，在我国称为“算筹”。它可以随意移动、摆放，较之上述各种计算工具就更加优越了，因而，沿用的时间较长。刘徽用它把圆周率计算到3.1410，祖冲之更计算到小数点后第七位。在欧洲，后来发展到在木片上刻上条纹，表示债务或税款。劈开后债务双方各存一半，结帐时拼合验证无误，则被认可。
5.珠算
珠算是以圆珠代替“算筹”，并将其连成整体，简化了操作过程，运用时更加得心应手。它起源于中国，元代末年(1366年)陶宗义著《南村辍耕录》中，最初提到“算盘”一词，并说“拨之则动”。十五世纪《鲁班木经》中，详细记载了算盘的制作方法。
到了现代，一种新型的电子算盘已经问世，它把算盘与电子计算器的长处集为一体，是一种中外结合的新型计算工具。
6.计算尺
公元1520年，英国人甘特发明了计算尺，运用到一些特殊的运算中，快速、省时。
7.手摇计算机
最早的手摇计算机是法国数学家巴斯嘉在1642年制造的。它用一个个齿轮表示数字，以齿轮间的咬合装置实现进位，低位齿轮转十圈，高位齿轮转一圈。后来，经过逐步改进，使它既能做加、减法，又能做乘、除法了，运算的操作更加简捷、快速。
8.电子计算机
随着近代高科技的发展，电子计算机在二十世纪应运而生。它的出现是“人类文明最光辉的成就之一”，标志着“第二次工业革命的开始”。其运算效率和精确度之高，是史无前例的。在此之前，英国数学家桑克斯用了22年的精力，把圆周率π算到小数点后707位，以至在他死后，人们在其墓碑上刻着π的707位数值，表达了对他的毅力和精神的钦佩。
请问：假如桑克斯使用现代的计算机只需多长时间可完成演算？
解：电子计算机是由电子原件构成的，具有逻辑运算和数字运算功能的计算工具。世界上第一台计算机是二十世纪四十年代诞生的。当时体积大得如几间房屋。至二十世纪七十年代，出现了晶体管计算机，继而产生了第三代集成电路和大规模、超大规模集成电路的第四代计算机。目前已出现接近人脑功能的第五代计算机(机器人)。它每秒钟能进行千万次的运算。桑克斯手工花22年光阴完成的运算，若使用现代的电子计算机只需数秒钟即可完成。
目前，一种新型的电子计算笔已经问世。它能将书写运算式子的结果立即在晶液显示管中显示出来，而且能储存笔迹。若在银行存款，可使作伪冒领者无机可乘！
拼移智慧
  
解决各种拼移问题，常常需要巧妙思维，打破常规，跳出圈子，因势利导，独辟蹊径，才能在看似“不可能解”的问题中，找到“可能”，进行巧妙的分割、接拼。
阅读了本章的内容，相信对你解决实际问题会有一定的帮助。

拼移图形是一种技巧和智慧。
几根火柴棒组成一道算式或一个图形，本非难事。可是只移动一根或几根，使它变成一个全新的算式或图形，却并不容易。
将一个图形分割成几块拼成新的图形，或是将几个图形拼成一个图形，假如都是规则形，也许不难。问题是有些图形与新拼的图形有天壤之别，常常是变曲为直，或变直为曲，而又要拼接得天衣无缝，就更非易事了！
这就需要仔细观察，认真思考。
别看这些好像很不起眼的“小杂耍”，可是它却蕴含着深刻的道理，隐藏着重要的实用价值。
在日常生活和生产实际中，经常有一些难题。然而常常见到甲是难题，碰到乙便轻而易举地解决了。
人们常说“木匠手下无废材”。为什么废材到了木匠的手里便成了有用之材呢？就是因为木工师傅有丰富的实际经验。什么木头够什么料，一眼就看清了。工厂里的下料，工艺美术的图案设计……都离不开拼移技术。
将来我们都要走向工作岗位，不论是从事农业生产还是进行科学研究，都不可避免地会遇到各种各样的问题。缺乏锐敏的观察力和分析判断本领，是难以应付纷繁的生活实际的。
脑筋愈用愈活。
我们研究各种拼移趣题，就是要活跃头脑，丰富实践，使我们变得“心灵手巧”。
解决各种拼移问题，常常需要巧妙思维，打破常规，跳出圈子，因势利导，独辟蹊径，才能在看似“不可能解”的问题中，找到“可能”，进行巧妙的分割、接拼。
阅读了本章的内容，相信对你解决实际问题会有一定的帮助。
  
1.摆直角
  
有人问智者：“给你三根小棒，你能摆多少个直角？”
智者回答道：“最少可摆两个，最多可摆12个，还可以摆4个，5个，6个，8个。”
你知道他是怎么摆的吗？
解：


  
2.排正方形
  
用4根火柴棒可以排一个正方形。
如果用7根排两个正方形、用8根排三个正方形，该怎么排？
解：把两个正方形连在一起排，只用7根便可排成两个正方形(如图)：

用8根火柴棒排出三个正方形，就要很好地动动脑筋了。

你是怎么排的？
  
3.三个三角形
  
用9根火柴棒排成了三个三角形(如图)。仍用这9根火柴棒，排成五个三角形，该怎样移动？

解：把下面的一个三角形移在上面，即可。
这样，外边是一个大三角形，里边是四个小三角形，一共便是五个三角形了。

  
4.破四为三
  
下图是用12根火柴棒摆成的，图中共有大小五个正方形。

现在要求移动4根火柴使它变成三个相同的正方形。
解：不可能将里面的4根火柴移出来，否则便无论如何也摆不成三个相同的正方形了！确定移动“边”上的四根，破坏了两个正方形，再利用移动的4根，另排一个正方形，便符合题目的要求了。

  
5.调整图形
  
下面两个图是用20根火柴棒排成的，面积比为3∶1。现在要调整两个图形，只需从大的中移出两根到小的中，使重新排出的两个图形，面积比不变。
应当如何调整？

解：从大的中移动2根到小的上，小的图形便有8根了。若围成正方形则太大，面积比不能实现，故可排成下图：

  
6.只移一根(一)
  
下列算式都是错误的，你能只移动一根火柴棒使等式成立吗？
①
②
③
解：解火柴棒算式，要先认真观察各数间关系，比较它们的大小。根据原式的误差数进行调整。上面各式可变化为：
①
②
③
  
7.只移一根(二)
   
下列算式也都是错误的，但每道算式中只需移动一根，等式便能成立，你能做到吗？
①
②
③
④
⑤
解：各题可分别使数字成为：
①4＋7＋1=12。将原式2取下1根放在减号上。
②114-72=42。将原式“＋”取出一根加入12的“1”上。
③21-11＋1=11。将原式“7”上取出一根放在和上。
④14＋1-11=4。将原式中1取出放在“＋”上，使第一数成为14。
⑤77-72＋12=17。将原式中“72”的7取出一根，放在和中。
  
8.小猪转向
  
由12根火柴摆成一只小猪。现在要求只移动一根火柴，使小猪站立调转方向，该如何移？

解：现在的小猪是头在右方而尾向左方的。要使它变成头在左而尾在右方，没有必要打乱重摆。因为决定小猪站立的方向，关键在头尾，现只准移动一根火柴，应把注意力集中在头、尾部想办法。其实，只要把头下方的一根火柴，移放到尾下方，小猪便调转方向了。
  
9.摆三角形(一)
  
媛媛说：“因为三角形必须有三条边，所以三根火柴可以摆成一个三角形。”
倩倩说：“不，用三根火柴我可以摆成四个三角形。”
媛媛看了倩倩摆的图形，果然是四个三角形。
你知道倩倩是怎么摆的吗？

解：这类问题，如果思路只停留在平面上，便不可能找到解决办法，超越常规的问题，就要用超越常规的思路。倩倩是将三根火柴立起来摆的。
  
10.摆三角形(二)
  
老师拿出6根小木棒，3根长的相等，3根短的也相等，但短的只有长的一半。
“谁能用这6根小棒，摆成四个完全相同的正三角形？”老师问。]

同学们你看我，我看你，半晌无人回答。
小朋友，你能摆成吗？
解：六根小棒要是孤立地摆放，只能摆成两个三角形。现在要摆成四个三角形，必然是组合在一起的。
摆成右面的图形，便符合要求了。
  
11.巧移硬币
  
有10枚硬币排列成“十”字形，有人能将它移动几枚后，使得不论横数或直数都成了6枚。
他是怎么移动的呢？

解：共10枚硬币，排成横直都是6枚，显然是不够的。这就需要突破常规思维。如果在一个位置放两枚呢？
处在十字中心的一枚是与横直都有

关联的。将这个位置重叠一枚问题便迎刃而解了！
  
12.绳拴鲤鱼
  
用1米长的绳子拴着6条鲤鱼，每条鱼中均间隔20厘米。卖掉1条鲤鱼后，绳子没有剪掉，其他各条鲤鱼也没有解开重扣，两条鲤鱼间仍是间隔20厘米，这是怎么回事？

解：六条鲤鱼，绳子的两端各拴一条。中间4条，卖掉一

条，只剩5条了，仍用这根子，每条间距离仍是20厘米……思路如果不拐个弯儿，便百思不得其解。
童话数学
  
看童话学数学生动有趣
  
童话数学
  
以数学知识作为童话的内容，这种数学，便成了童话数学。这种童话，便叫做数学童话。
童话数学的最大特点是数字、符号以及概念、法则等抽象的知识，都变得形象、具体、生动、活泼了。它们一个个会说话，会游戏，会做工……本来我们认不清它们的面目，可是听它们说适，看它们游戏，做工，便自然而然地熟悉了它们。
走进了童话，连自己也变成了数字、符号、概念、法则，我们将在数学王国中愉快地观赏游玩。
大家也许还记得，《西游记》中孙悟空与铁扇公主的故事。那孙大圣钻进了铁扇公主的肚子里，才打了胜仗。
走进童话中学习数学，也如同钻进了数学的肚子里，从里向外才看得更清楚。那些混混沌沌的概念，奇奇巧巧的计算，怪模怪样的图形以至千变万化的问题，在数学王国的内部，都变得格外清朗了。
更有趣的是，童话里有饶有兴味的帮事，有曲曲折折的情节，还有栩栩如生的人物。看它们举止动作，听它们交谈辩论，头脑中留下的印象便更深、更鲜明。
  
1.智慧树下的辩论
  
术语村头的那棵老槐树，枝繁叶茂。在烈日炎炎的盛夏，如同一把巨大的遮阳伞。村民们不约而同地聚集在下面歇凉、听故事、聊天、读书、看报、听收音机……总之，在老槐树下，人们眼界变宽了，心胸开阔了。大家都把这棵树称为“术语村的智慧树”。
这一回，树下聚集着那么多人，既不是聊天，也不是听故事，而是看“增加”和“减少”两家的辩论。
“增加”和“减少”都常在“应用题列车”上露面，不知怎么引起的。“增加”说：“只要我出现，货物必然多起来。”“减少”则说：“那可不一定，我们出现时货物也不见得就少！”双方各不示弱，谁也说服不了对方。
“多”和“少”两家也去参加辩论了。
“多”站到了“增加”一边，“少”则帮着“减少”说话。
“见多就加，见少就减，我们一直是这么办的。”“多”并且举出了例子来：“咱村有猪40头，羊比猪多10头，求羊，自然是40＋10＝50头了！”
“少”则说：“咱村有猪40头，比羊少10头，求羊，题中虽然有‘少’字，难道能用‘40—10＝30’求羊的只数么？”
这与“增加”和“减少”两家的辩论差不多。
“增加”说：“有我在，就得用加，例如：去年水稻亩产512公斤，今年比去年亩产增产23公斤，今年亩产多少公斤？自然是‘512＋23’”
“减少”说：“当我出现在题目中，同样不能用‘减’：去年水稻亩产512公斤，比今年亩产减少23公斤，今年亩产多少？”
他们你一言，我一语，各有各的理由。
辩论还没有结果，那边“扩大”和“缩小”两家又吵起来了，“扩大”坚持见到他要用乘法，而见到“缩小”就必然是除法，这意见却又遭到了“缩小”一家的强烈反对。
真是一波未平，一波又起。
一直倚在智慧树上没有吭声的“概念”老人说话了：“要我说，具体问题具体对待！关键是要分清‘以谁为标准数’来比较的。不管青红皂白见多就加，见少就减，见扩大就乘，见缩小就除，肯定会出差错！各位还是分析一些具体问题吧！”说罢，他从智慧树上扯下一把树叶，撒向人群。
说也奇怪，每片树叶上都有一道与争论相关的题目。人们立即停止了争论，一个个都在专心地分析自己的问题，转而又互相热烈的讨论了。
其中有几个题目是：
(1)公鸡有12只，比母鸡多5只，母鸡多少只？
(2)42个人参加植树，6个人一组，一共可分几组？
(3)妈妈买来一篮苹果，送给姥姥5斤，还剩8斤，妈妈买来多少斤苹果？

身高多少？
(5)今年发展35名少先队员入队，是去年发展队员数的7倍，去年发展了多少名少先队员？
  
2.“数”老大耍杂技
  
会堂里人头攒动，掌声阵阵，人们正在兴高采烈地观看杂技表演。
杂技团的团长是数学城杂技研究会的“数”老大，这就更引起了人们的兴趣。
“数”老大在舞台上一站，台下便爆发了雷鸣般的掌声。
只见“数”老大用手一招，一个与他同样高大的“位”字并立在身旁，这时舞台上站立着“数位”两个字。随后，个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……一个个载歌载舞从舞台上飘过。他们所占的位置都用动作暗示了出来。
他向观众表明：
数位就是各个计数单位所占的位置。不同的数位占的位置也不同。
转眼间，“数”老大又站到了“位”的右边，人们见到舞台上是“位数”两个字。那些个、十、百、千……也突然消失。
忽然“数”老大用手一指，舞台上立即出现了：
一位数：1、2、7、8、6……
两位数：10、23、45、83、74……
三位数：721、350、208、100……
四位数：1000、2345、9672、8001
五位数：10000、17431、24856、12009……
……
舞台显得小了。
排头的标牌不停地舞动，后面的数字就不停地变换，黑压压一片，全是各种各样的自然数，一眼望不到边。
“数”老大虽然没说话，观众明白了他的意思，位数就是一个自然数含有数位的个数。含有个、十两个数位就是两位数，含有个、十、百、千四个数位，就是四位数……真是“此时无声胜有声”啊！
表演了两个节目后，只见“数位”在舞台上晃动起来，他们做出各种优美的舞蹈动作，后来腾空一个跟头，站到舞台正中。人们定睛一看，“位”变成了“字”，“数字”两人手拉手跳起了“华尔兹”舞步，此时灯光大亮，乐声骤起。在“数字”后面，此来彼往。进进出出全是记录各种数的符号：
1、2、3、74、93、100、2003、57400……
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ……
是的，这些全是数字！
随着帷幕徐徐下落，“数”老大频频向观众点头致意。人们用热烈的掌声等待着下一个新节目。
观众中鼓掌起劲的是小学生，他们由衷地感谢“数”大师的无声指点，使他们终于彻底明白了“数位”、“位数”、“数字”等抽象易混的数学概念。
  
3.“二”和“两”找法官
  
“二”和“两”本是同宗兄弟。在数的家庭里，他们都表示同一个数值。像“二万”，也就是“两”万，表示的数都是20000。
可是，近一阶段，因为争着要多做点工作，便发生了纠纷。“二”要去干，“两”也要去干，有些工作又不能两人同时去做。这样便常出差错。
比如：“董尧尧做两十道题，对了十两道，得了第两名。”本来应该让“二”去，“两”字偏要争着干，结果让人听得莫名其妙；
又比如：“倩倩和媛媛二个人，买了二本书、二支笔，回家又读了二小时书……”本应让“两”去的，“二”字挤上了，听起来多别扭……
类似的问题很多，已经到了非解决不可的时候了，弟兄俩议定，干脆请数学法官老Q，作个公断，以后便按法官划定的界限，该谁去干谁出面。
法官Q听完了两人的陈述，思考了一会，便说：“你们争着做工作，精神是好的。不过，你们俩谁干都行的工作可不多。”
“难道一件也没有吗？”兄弟俩问。
“据我所知，在读多位数时，数位开头的亿位、万位、千位，你们俩谁上都行，但是在亿、万、千等计算单位中间的‘二’，一般‘两’就不应上了。比如：二千二百万、二万零五百，读成：两千二百万、两万零五百都可以。”
“哪些事咱俩不能一齐上呢？”
老Q拍了拍脑袋说：“关于你们的分工虽没有明确法规，但长期以来的习惯是：
(1)在表示‘序数’时，一般用‘二’不用‘两’。如上面的例1，只有在通信中，为了使对方听清，特意把‘二’读成‘两’，这是例外。
(2)在量词前面，一般用‘两’不用‘二’。
(3)在读数时，除高位的亿、万、千外，一般用‘二’不用‘两’，如二百五十二、零点二二，七分之二，不能读成两百五十两、零点两两、七分之两。
我能想到的，也就是这些吧！”
经Q法官这么一讲，“二”和“两”对各自的责任范围明白了许多，兄弟俩高兴地说：“这样，咱们今后就可减少扯皮提高工效了。”
于是弟兄俩高高兴兴地回到数学大院，准备在建设祖国的事业中，作出更多的贡献。
  
4.山羊爷爷传秘诀
  
山羊爷爷出了几道选择题让小羊们判断。
(1)四亿零五千写作()。
①400005000 ②40005000 ③4000005000
(2)2000605读作()。
①二十万零零六百零五
②二百万零零六零五
③二百万零六百零五
④二十万零六百零五
小羊灰灰和白白思考了一下，第一题他俩先写下数位表，凡是空位的都补上0，很快便判断出正确：
千百十亿万万万万千百十个
400005000
可是做到第二题，他们先排除了①和④是错的，但是②和③谁对谁错难以确定了。
山羊爷爷见他俩总是判断不下，便说：“读数和写数都有秘诀，只要记住它，做起来便容易了！”
听说有秘诀，小山羊都拉着山羊爷爷要他快说。
山羊爷爷清了清嗓子念道：
写数的秘诀是：
“写数要从高位起，哪位是几就写几，熟记数位最要紧，空位都用0补齐。”
读数的秘诀是：
“读数也从高位起，哪位是几就读几。
中间连续几个0，读时只需读一个。
每级末尾若有0，一律不读要记清。”
小羊用秘诀对照题目果然很容易，便确定了正确答案。
他俩暗暗地熟记了这两个秘诀，再遇到整数的读写，便再也不用发愁了。
  
5.胖胖0告状
水帘洞的门前，像堆满着气球，一群胖胖0，叽叽喳喳一齐来状告小猕猴，定要当面问问长臂猿，他的徒儿欺侮人，当师傅的，管还是不管？
既然是徒弟惹了祸，当师傅的自然有责任。长臂猿忙问：“各位都从何处来的？”
众人齐声高呼：“洁白广场的乘法工地！”
长臂猿顿时明白，小猕猴在乘法运算中又犯了错误，连忙说：“请将具体情况告知，我一定要好好教训教训他！”
于是胖胖0纷纷说出了小猕猴的过错。

(一)
“我是乘数中间的0”，一个胖胖0说：“小猕猴在乘法计算时，竟然不让我占有位置！”
长臂猿没有听明白，便说：“你能讲得更具体些么？”
胖胖0拿出了一张纸：“瞧，这上面写得明明白白！”
长臂猿接过状纸，只见那上面写道：

果然，算式中把0的位置忽略了：“这孩子又犯了快而不准的老毛病了！”长臂猿心想：“要是把0当作一个数去乘：

尽管麻烦些，也不至于搞错了部分积的位置呀！”
长臂猿略一沉思，和蔼地说：“你速回乘法工地，叫他先把我的问题做出来后，再重新处理你的问题，若还有差错，再来找我！”
说罢，长臂猿写下了几道题：
413×84＝？ 413×804＝？ 413×8004＝？
胖胖0接过纸来，用力一纵，飘上了空中，向乘法工地飞去。

(二)
第二个胖胖0，一声没吭，便将状纸交来：

长臂猿一看，这是被乘数中间带0，相乘时没用省略的方法。小猕猴却把它与乘数中间带0混淆了，使部分积也多错一位。
胖胖0望着紧皱眉头的长臂猿，委屈地说：“瞧您的徒弟，简直是任意摆布我们！”
“是我没有教育好！”长臂猿非常谦逊地说：“请您再耐心地等一段时间，我重新设计一套功法，待他练习后，若仍随意摆布你们，我定不饶恕！”
说罢，长臂猿写下了一些问题，要胖胖0告诉小猕猴，练好功法后，立即来见。
胖胖0接过纸来，只见那上面写着：

胖胖0就纵身一跳，飘向蓝天，直奔洁白广场飞去。
(三)
“您的徒弟除了任意摆布被乘数、乘数中间的0，对我们这些积末尾的0，也不放在眼里！”
长臂猿一看，许许多多的胖胖0，一下子拥向前来，七嘴八舌把他团团围住。一张张告状的信纸，一个劲地往他手里塞。一时间使他眼花缭乱：尽多是被乘数、乘数末尾带0的。

这类问题进行简便运算时，末尾的0都不要去乘，全部把它添到积的末尾便可以了。可是小猕猴不是少补了0，就是多添了0……
长臂猿非常气愤，便拨通了小猕猴办公室的电话，准备狠狠的教训一顿。
电话铃响，岂料，小猕猴的第一句话便是：“师傅，我错了！您教我练的功法，已全部学会，您派来的胖胖0，已全部安排妥当。师傅，您还有什么指教？”
徒儿这么虚心，听话，长臂猿还能说什么呢？便轻言慢语地告诉他：“我这里还有一大批被你任意丢掉的胖胖0哩！我立即叫他们回到乘法工地，在他们到达之前你必须将下列功法练好，并认真地总结教训！”
小猕猴连连称是：“请师傅快说。”
长臂猿在电话中要小猕猴记下了：
25×6  250×6   250×60   2500×600
随即转过脸来，向大家说：“各位快回吧，小猕猴会给你们安排妥当的。”
于是，一个个胖胖0飞向空中，花果山像飘走了一些美丽的气球。
  
6.飘荡的胖胖0
  
一些胖胖0，浮在半空中飘动着。小花猫把它当成了气球，仰着头，不停地往前追。近前细看，原来都是一个个没有根梢的0，感到很新奇，便问：“你们怎么不在算式里做事，却四处飘荡呀？”
其中一个0哭丧着脸说：“我是商中间的0，被人家抛弃了，他们不让我呆在算式里！”
另一个0接着说：“我是商末尾的0，也是被赶出来的。”
小花猫更加迷惑不解：“胖胖0在算式中作用很大，谁这么大胆，竟敢把你们赶走？”
0伤心地说：“他们根本不把我们放在眼里，在除法求商时，常常把我们扔掉不管！”
“岂有此理！”小花猫很气愤：“在数位表里，遇到空位时，都特意把你请去补上座位，这样才能保证数的科学准确！要不，三千零五，把百位、十位空位的零扔了，3005岂不成了35！请你们详细说说看，他们是怎么扔下你们的？”
胖胖0见小花猫很热心，就都一起飘动起来，领着他去看现场。
在一片洁白的广场前，他们停下了。
小花猫一看，不禁大吃一惊：广场上，整整齐齐并列着许多算式：

果然，所有算式上，商中间、商末尾应该有0的，都没有补足。
“我们都没了安身之地，才四处飘荡的！”胖胖0一个个满腹委屈。
小花猫看了这些错误的算式，气愤异常，他二话没说，跑到水沟边，挖了一块湿泥作为墨汁，在手上涂了又涂，然后把那一道道算式，都打上了大大的“×”。
而后，又根据“商×除数=被除数”的验算公式，写下了：
12×6=？ 104×8＝？ 280×3=？ 40×12=？
最后，安慰胖胖0说：“你们不要四处飘荡了，就坐在这儿等着，算式的主人回来时，看了我写的东西，一定会给你安排好座位的！为了快一些解决问题，我先找找他们去！”
说罢，小花猫便去找算式的主人了。
思考与练习：
1.在下列各个除式中，要使商中间有一个“0”，□内可以填什么数？

2.下列除式中，除数是几时商的中间、末尾都有“0”？

3.下列各式子是否正确？为什么？

4.口算求商。
4032÷4＝  2550÷5＝  2400÷12＝
3184÷8＝  9018÷18＝  55220÷11=
  
7.长鼻象讲试商
  
加减乘除四兄弟，
只有除法最淘气，
求商必须先试商，
或大或小反复试，
一遍一遍真烦人，
生怕粗心出错误。
小山羊咪咪呀呀，不停地唱着自编的顺口溜，在山间的林荫道上慢悠悠地走着。
“小羊，小羊，快来，快来！我们正在研究试商呢！”小山羊抬头一看，嗬，山前的大松树下，围坐着一群小伙伴哩：长颈鹿、金丝猴、小花猫、小白兔……一个个都端端正正坐在那儿。
听说研究试商，小山羊自然高兴，除数、被除数千变万化，求商可真不容易呀！
金丝猴让小山羊坐下后，悄悄地说：“这下好啦，咱们请来了数学专家，专门给我们解决试商中的困难呢！”
说话间，只听有人说：“来啦！来啦！”
小山羊只见一个身材魁伟的大象，慢腾腾地坐在了前面，他晃动着长长的鼻子说：“小朋友，把你们碰到的问题提出来吧！”
话音刚落，只听“我说”、“我说”，一个个争相发言。
象专家用长鼻子指一指长颈鹿。
“如果被除数的前几位数比除数大，除数的个位比较小，例如：8468÷51，怎样试商呢？”长颈鹿一口气说出了自己的疑问。
长鼻象不假思索地答道：“类似这样的情况，都可以用‘首位试商法’，84＞51，8÷5商1，商的首位必定是1。例如：512÷44和72468÷51……，都可用这个法儿试商。”
众人一看，果然，商的首位数都是1。
“假如被除数的前几位数比除数小，除数的个位却比较大，该怎样试商？”说话的是小白兔。
“你的问题我明白。”长鼻象说，“例如，563÷68，56＜68，类似这样的情况就用‘五入法’，把除数先‘五入’，即把68看作70，再试商。像24÷28和8840÷89以及32011÷37……都照此处理！当然了，如果除数的个位数比较小，就用‘四舍法’。这两种方法，实际就是‘凑整法’。”
长鼻象果然学识渊博，伙伴听得豁然开朗。
小山羊连忙举手说：“专家叔叔，我计算中还遇到这样问题，除数的首位数字与被除数的首位数字相同，次一位数字接近却不够商。例如：2214÷27，该怎么试商？”
长鼻象眨了眨大眼睛，慢腾腾地说：“这种类型我们叫它‘同头无除’，情况比较复杂。当被除数前两位数字的和大于或等于除数的个位数字时，肯定商9，其余情况，多数商8，所以说，‘同头无除商8、9’。偶然，也有商7、6、5的。”
长鼻象讲后，同伴们热烈地议论了起来，各人都举出了一些例子，先估商、后试商：161÷19、124÷18、3113÷39……
好长时间，没有提出问题了。长鼻象说：“还有一种情况：当被除数的前一位数字或前两位数字，如果恰是除数的一半，可直接商5，这种方法，就叫‘折半法’吧！如：801÷16、14360÷28……”
讲完了仍是没有人再提问，“有问题以后再研究吧！”长鼻象便站了起来，摆了摆大鼻子回去了。大家听得入了神，猛见象专家离去，连忙高呼：“谢谢象伯伯，下次再见！”
思考和练习
1.试商一般有哪些方法？
2.下列各题应如何试商？
66951÷519 236318÷683
21675÷289 328427÷803
306000÷612
  
8.小数点的家
  
数学城里有个自然数一条街，原先住着清一色的自然数，由于这里靠近计算大道，交通发达，经济繁荣，后来有位姓“零”的也迁到这里，大家便把这条街叫做“整数一条街”了。
本来大家都平平静静地过日子，各自干着各自的事情，各家住着各家的房子：个、十、百、千、万……井然有序，岂料自从来了个身份不明的姓“零”者，由于他不断迁移，一下子秩序大乱，原来是“万”的陡然间变成了“百”、“千”或“个”、“十”，原来是“百”、“千”的又一下子变成“个”、“十”。这样，许多人霎时间成了“暴发户”，许多人霎时间又成了“穷光蛋”。
是谁这么神通广大呢？
原来是个名叫“小数点”的人。大家说：“你不是咱们数学城的！你是语文国的。”
可小数点“.”却沉着冷静不慌不忙地说：“我原本就是数学王国的臣民，原来就住在数字一条街。”
自然数、整数都齐声说：“我们从没见过你！”
“哈哈！那只说明你们孤陋寡闻罢了，你们每一家的后面都有我的一点小住处，只是我不愿出头露面而已！”那个叫小数点的人说得竟那么轻巧、自信。
自然数的领头“1”首先责问道：“难道我身后面有你的住处？”
“那当然！”小数点说，“你与1.0是不是一家？”
1=1.0，谁都知道，1无话可说了。
两位数中的老大99说：“照你这么说，我身后面也有你的住处！”
“我已经说过，你们自然数、整数，不论谁的后面都有我，99=99.0，难道你能不承认？”
小数点的一席话说得众人哑口无言。
“仅靠你们整数，数学城的好多问题你们解决不了！”小数点非常自信地说，“生产发展了，经济发达了，数字一条街自然要扩大，就拿这条计算大道吧，原先10米宽就够用的了，现在扩展到15米6分米5厘米，还嫌太窄。就以这路宽为例，请问用米怎么表示？我一参加就好办了，15米6分米5厘米=15.65米”
“那你们的住宅怎么安排呀？”整数中有人问。
“这，管理数学城的建设部早给安排好了！”说着，他把图拿了出来：

众人一看，果然早已有人给小数点安排好了位置。
“就是大家承认了你的位置，可你也不能经常搬家呀！”说话的是2850，你小数点向左移一位我便缩小了10倍，成了285，移两位我成了28.5，移三位我就成了2.85……”
“是呀，本来我安安静静的，”3接着话茬，“你向右移一位，把我变成30，向右移两位又使我扩大了100倍成为300，一会儿你又把家搬到离我左边三位，使我变成0.003……为啥要这般折腾我们？”
“你们甭说啦！”小数点打断了话茬，“请大家想想，我们这些数，要是呆呆地坐在家里还能发挥什么作用？只有天天在计算大道上奔跑才能体现我们的价值。你们一会儿变成整数，一会儿又变成小数，那都是实际需要，我的作用，正是体现在不停地搬家中……咱们只有同心协力，才能使我们数字街更加繁荣！”
大家见小数点的话句句在理，而且他原本就是数字街的成员，要发展，要繁荣，只有团结合作才能成功。从此也便与小数点友好相处了
数海探奇
  
数字海洋是一个绚丽多彩的万花筒。它浩瀚无垠，深不知底，广不见岸。其中蕴藏着无穷奥秘。在这个海洋里，几千年来，人类一直在不停地探索、研究，虽然已经揭开它的部分面纱，但是背后隐藏的奥妙，还深邃莫测。
当数字中蕴含的某些奇妙特性被揭示出来，当运算中发现了某种奇异现象，惊诧赞叹之感便油然而生。那些规律性的运算现象，那些象形性的数字排列，更激发了人们研究探索的热情。
人们已经发现各种各样非常奇特的数：音乐数、奇异数、魔术数……还发现运算中出现的数字山、数字塔、数字黑洞、数字旋涡……
走进数海便如同进入魔宫，那五彩缤纷绚丽多姿的数字奇景，令人目不暇接，留连忘返。
数字奇观，是人类在数海遨游中发现的奇特风景，它仅仅是数学海洋这个奇妙世界的一小部分。毫无疑问那些隐藏在数海深处的秘密，还有待于后来者进一步地探索、发现。
然而，仅这些已发现的数字奇景，也足以令人惊诧叫绝。
  
1.对称数
  
文学作品有“回文诗”，如“山连海来海连山”，不论你顺读，还是倒过来读，它都完全一样。有趣的是，数学王国中，也有类似于“回文”的对称数！
先看下面的算式：
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
……
由此推论下去，12345678987654321这个十七位数，是由哪两数相乘得到的，也便不言而喻了！
瞧，这些数的排列多么像一列士兵，由低到高，再由高到低，整齐有序。还有一些数，如：9461649，虽高低交错，却也左右对称。假如以中间的一个数为对称轴，数字的排列方式，简直就是个对称图形了！因此，这类数被称作“对称数”。
对称数排列有序，整齐美观，形象动人。
那么，怎样能够得到对称数呢？
经研究，除了上述11、111、1111……自乘的积是对称数外，把某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数。
如：475


15851便是对称数。
再如：7234

对称数也出现了：1136311。
对称数还有一些独特的性质：
1.任意一个数位是偶数的对称数，都能被11整除。如：
77÷11=7 1001÷511=91
5445÷11=495 310013÷11=28183
2.两个由相同数字组成的对称数，它们的差必定是81的倍数。如：
9779-7997=1782=81×22
43234-34243=8991=81×111
63136-36163=26973=81×333
……
  
2.完全数
  
一个数恰好与它自身全部因数的和相等，这种数叫做“完全数”。
如：6=1×2×3=1+2+3
6的全部因数是1、2、3，这些因数相加所得的数，恰好也等于6。6，便是完全数。
自然数无穷无尽，在整个自然数中，完全数也仅仅似沧海一粟。这样，如何寻找完全数便成了数学家的研究课题。
大数学家欧几里德，曾得出一个科学的论断：
如果2p-1是质数，那么(2p-1)?2p-1
便是一个完全数。
按照这个公式，我们先对6进行验证：
当p=2时：
2p-1=22-1=3，3是质数，则：
(2p-1)?2p-1=(22-1)?22-1=6
符合公式要求，所以6是完全数。
假如p=3呢？
代入式子：
(2p-1)?2p-1=(23-1)×23-1=28
28也是完全数。
不过，你不要以为完全数是很容易发现的。经过许多数学家的辛勤努力，至今才仅仅找到30个完全数，而且都是偶数。
奇数中难道没有完全数吗？
许多人作了耐心的探索。有人把长达36位以内的自然数全部验证了一遍，仍没有发现一个奇数完全数！
但是，能不能就此断定奇完全数根本不存在呢？谁也不敢说。验证的数，虽然很多，但是在自然数的茫茫大海中，仍仅仅是“一粟”而已！
完全数仍然是没有解开的谜！
  
3.音乐数
  
弹三弦或拉二胡总是要手指在琴弦上有规律地上下移动，才能发出美妙的声音来。假如手指胡乱地移动，便弹不成曲调了。
那么，手指在琴弦上移动对发声有什么作用呢？
原来声音是否悦耳动听，与琴弦的长短有关。长度不同，发出的声音也不同。手指的上下移动，不断地改变琴弦的长度，发出的声音便高低起伏，抑扬顿挫。
如果是三根弦同时发音，只有当它们的长度比是3∶4∶6时，发出的声音才最和谐，最优美。后来，人们便把奇妙的数3、4、6叫做“音乐数”。所以，古时候人们把音乐也作为数学课程的一部分进行教学。
音乐数3、4、6，是古希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的。
相传，毕达哥拉斯一次路过一家铁匠铺，一阵阵铿铿锵锵的打铁声吸引了他。那声音高高低低，富有节奏。他不禁止步不前，细心观察，原来那声音的高低变化是随着铁锤的大小和敲击的轻重而变化的。受此启发，回家后他进行很多次试验，寻找使琴弦发声协调动听的办法。最后终于发现：乐器三弦发音的协调、和谐与否，与三弦的长度有关，而长度比为3∶4∶6为最佳。从此，人们便把3、4、6称作音乐数。
  
4.相亲数
  
人们常用“你中有我，我中有你”来表达两个人的亲密关系。令人惊奇的是：在无声无息的数字群体中，竟然也有这样关系密切的“相亲数”！
220与284就是这种“你中有我，我中有你”的相亲数，它们的特点是：彼此的全部约数和(本身除外)都与另一方相等。
把220的全部约数(除掉本身)相加是：
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284
同样，把284的全部约数(除掉284本身)相加的和是：
1＋2＋4＋71＋142=220
相亲数，使古今中外的数学爱好者产生了极大的兴趣。大数学家弗尔马、笛卡尔和欧拉等人也都进行过研究。特别是欧拉，他在1750年一口气向公众宣布了60对相亲数，这使人们大开眼界！
此后，关于相亲数的话题，冷了一百多年。人们普遍认为：相亲数研究的“顶峰”，已经被大数学家欧拉占领了，其他人不会再有新的突破了！
可是，令人惊奇的是：一个年仅16岁的意大利青年巴格尼尼却惊世骇俗地宣称：1184与1210是仅仅比220与284稍大的第二对相亲数！原来，尽管欧拉算出了长达几十位、天文数字般的相亲数60对，却偏偏遗漏了近在身边的第二对。
当时已是1866年，大数学家欧拉早已长眠于地下了！
  
5.喀氏数
  
喀氏，指的是印度数学家喀普利卡。
一天，喀普利卡从铁道经过，一个偶然的现象，引起了他的思考：一块里程指示牌被龙卷风拦腰折断。那上面写着的3025公里，四位数字被一分为二：30 25。
见此景象，喀普利卡心里一亮：“这个数好奇怪呀！30＋25=55，而552=3025，原数不是又再次重现了吗？”
此后，他便研究、搜寻这类数字，竟然发现了一大批具备这种特点的数。
如：2025
20＋25=45 452=2025
9801
98＋1=99 992=9801
人们把这种怪数命名为“喀普利卡数”，简称“喀氏数”，也有称为“分和累乘再现数”。
喀氏数不仅存在于四位数，其他位数的数也有。如美国数学家亨特，发现了一个八位数的喀氏数：60481729
6048＋1729=7777     77772=60481729
瞧，把它拦腰切断，再揉合一起，最后只要翻个身(自乘)，便又完好无损地站到我们面前了。这简直如“分尸再续”的魔术一般，令人惊奇、赞叹！
  
6.圣经数
  
153被称作“圣经数”。
这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21章。其中写道：
耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来。”西门?彼得就去把网拉到岸上。那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破。
奇妙的是，153具有一些有趣的性质。153是1～17连续自然数的和，即：
1＋2＋3＋……＋17=153
任写一个3的倍数的数，把各位数字的立方相加，得出和，再把和的各位数字立方后相加，如此反复进行，最后则必然出现圣经数。
例如：24是3的倍数，按照上述规则，进行变换的过程是：
24→23＋43→72→73＋23→351→33＋53＋13→153
圣经数出现了！
再如：123是3的倍数，变换过程是：
123→13＋23＋33→36→33＋63→243→23＋43＋33→99→93＋93→1458→13＋43＋53＋83→702→73＋23→351→33＋53＋13→153
圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此并作了证明。《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨。
  
7.自守数
  
任何两个整数相乘，只要它们的末位都是5或6，那么，乘积的末位数字也必然是5或6。5或6就像一条甩不掉的“尾巴”，始终与它们形影相随！人们称这样的数为“自守数”。
例如：
5×5=25
6×6=36
25×25=625
76×76=5776
625×625=390625
376×376=141376
从上式可见：
两位的自守数是25和76，它们分别是一位的自守数5和6的“伸长”。三位的自守数也正好是一对：625和376。它们又分别是两位的自守数25和76的“伸长”。
自守数从5和6出发。可以无限伸长，它的位数不受限制。十位的两个自守数是：
8212890625和1787109376
有人已经用计算机算出了长达五百位的自守数，并且已经找到了求自守数的方法了。
有趣的是，自守数的伸长，还存在一种普遍的规律，即：
5＋6=10＋1
25＋76=100＋1
625＋376=1000＋1
……
数中奥秘真是无穷无尽！
  
8.自我生成数
  
一个数，将它各位上的数，按照一定规则经过数次转换后，最后落在一个数上，再作转换，便不再产生新数了，任你按规则反复演变它仍是“自己”，我们把这个数称作“自我生成数”。
如：任写一个数字不相同的三位数(数字相同的111、222、333、……999除外)，将组成这个数的三个数字重新组合，使它成为由这三个数组成的最大数和最小数，而后求出这新组成的两个数的差，再对求得的差重复上述过程，最后必然生成“495”。
以213为例，按上述规则，转换过程是：
321-123=198
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495
         ↓
954-459=495
对于四位数也按上述操作规则会怎样呢？
以7642为例，转换过程应是：
7642-2467=5175
7551-1557=5994
9954-4599=5355
5553-3555=1998
9981-1899=8082
8820-0288=8532
8532-2358=6174
           ↓
7641-1467=6174
四位数的自我生成数是6174。
  
9.勾股弦数
  
三个自然数，如果其中两个自然数的平方和，恰等于第三个数的平方，这样的三个数叫做“勾股弦数”。
如：32＋42=52
52＋122=132
72＋242=252
上面的每组三个数，都是勾股弦数。
勾、股、弦本是直角三角形三个边的名称。较短的直角边称“勾”，较长的直角边称“股”，斜边称“弦”。我国古代有“周三径一，方五斜七”的说法，意思是：周长为3的圆，直径约是1；边长为5的正方形，它的对角线约为7。尽管这是不精确的，却是我国劳动人民的一大发现。“方五斜七”，已经表明了直角边与斜边间的关系了！
在自然数群体中，能组成勾股弦数的，很多，很多。
下列各组数都是勾股弦数：
8、15、17；20、21、29；
9、40、41；20、99、101；
11、60、61；……
总之，当m是奇数时，那么能构成勾股弦的另两个数，便分别：是

如，m=13，另两个数分别是：

即：132＋842=852
  
10.魔术数
  
有一些数字，只要把它接写在任一个自然数的末尾，那么，原数就如同着了魔似的，它连同接写的数所组成的新数，就必定能够被这个接写的数整除。因而，把接写上去的数称为“魔术数”。
我们已经知道，一位数中的1，2，5，是魔术数。
1是魔术数是一目了然的，因为任何数除以1仍得任何数。
用2试试：
12、22、32、……、112、172、……7132、9012……这些数，都能被2整除，因为它们都被2粘上了！
用5试试：
15、25、35、……115、135、……3015、7175……同样，任何一个数，只要末尾粘上了5，它就必须能被5整除。
有趣的是：一位的魔术数1，2，5，恰是10的约数中所有的一位数。
两位的魔术数有10、20、25、50，恰是100(102)的约数中所有的两位数。
三位的魔术数，恰是1000(103)的约数中所有的三位数，即：100、125、200、250、500。
四位的魔术数，恰是10000(104)的约数中所有的四位数，即1000、1250、2000、2500、5000。
那么n位魔术数应是哪些呢？由上面各题可推知，应是10n的约数中所有的n位约数。四位、五位直至n位魔术数，它们都只有五个。
  
11.奇异数
  
有些自然数，将它的平方数截成两个相同位数的自然数(如果平方数是奇数位，就在数首补0，凑成偶数位后，再截)，截成的两个数和，仍等于原来的数。
如：92=81          8＋1=9
452=2025           20＋25=45
2972=88209         088＋209=297
50502=25502500     2550＋2500=5050
……
这种奇妙现象，激起了人们的浓厚兴趣，人们把具有这种特性的奇异数，从茫茫数海中一个个挑了出来。
一位的奇异数是：1，9
两位的奇异数是：45，55，99
三位的奇异数是：297，703，999
四位的奇异数是：4950，5050，2728，7272，2223，7777，9999
五位的奇异数是：22222，77778，99999
六位的奇异数是：499500，500500，999999
……
奇怪的是，如果把99、999、9999……这些由同一个数字9组成的奇异数除外，在各个数位段中出现的奇异数，都是偶数个，并且每一对奇异数的和都是10的n次方。
如：1与9           1＋9=101
45与55             45＋55=102
297与703           297＋703=103
2728与7272         2728＋7272=104
2223与7777         2223＋7777=105
499500与500500     499500＋500500=106
……
所以，如果自然数A是n位的奇异数，那么，10n-A也是n位数的奇异数。
如：已知297是三位数的奇异数，按照上述公式：
A=297  n=3
10n-A=103-297
=1000-297=703
703也必定是三位数中的奇异数。
  
12.地球数
  
地球围绕太阳旋转一周，便是一年。
一年是365天(平年)，因此，我们把365称为地球数。
在自然数中，10、11、12三个数的平方和，恰是365！
102+112+122=100+121+144=365
有趣的是，13与14的平方和，也是365。
132+142=169+196=365
因此，人们把下列算式称作地球数算式：

这种算式使人们倍感兴趣：
102+112+122=132+142
瞧，组成算式的五个数，恰是10～14五个连续的自然数；等式左端三个数，右端两个数。这使人们想到勾股弦数：
32+42=52
这个式子是左两项、右一项。3、4、5也是连续数。
要是左四项、右三项呢？这几个连续数也被找到了：
212+222+232+242=252+262+272
项数更多一些呢？
362+372+382+392+402=412+422+432+442
原来，这些等式可以无止境地写下去。等式的右端是m 项，则左端是(m＋1)项。一连串自然数最中心的一个数，应该是2m(m＋1)。找到了中心数，如上述各式中的4，12，24，40，其他各数便可依次写出了。
  
13.逆序数
  
将组成一个数的数字，按原顺序逆转排列所组成的新数，叫做原数的逆序数。如376的逆序数是673。
一位数不存在逆序数。两位以上的数，都有逆序数。
逆序数也有一些有趣的特性：一个数与它的逆序数的和除以它各位上的数字和，所得的商在同一个数位段是一定的。如，
在两位数中：
(85+58)÷(8+5)=143÷13=11
(45+54)÷(4+5)=99÷9=11
(93+39)÷(9+3)=132÷12=11
……
瞧，商总是11。
在三位数中，如：
(567+765)÷(5+6+7)=1332÷18=74
(432+234)÷(4+3+2)=666÷9=74
(987+789)÷(9+8+7)=1776÷24=74
……
但这局限于三位数，而且必须为连续自然数。
  
14.角谷猜想
  
角谷静夫是日本的一位著名学者。他提出了两条极简单的规则，可以对任何一个自然数进行变换，最终使它陷入“4-2-1”的死循环。
角谷提出的变换法则是：
1.当N是奇数时，下一步变为3N+1；
2.当N是偶数时，下一步变为 N/2。
人们把它称为“角谷猜想”。
任举几个例子试试看：
当N是一位数6时，按规则应变为：
6→6÷2→3→3×3+1→10→10÷2→5→5×3+1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→1×3+1→4→4÷2→2→2÷2→1→……
最后落入“4-2-1”的死循环。
当N为两位数，如46，应变换为：
46→46÷2→23→23×3+1→70→70÷2→35→35×3+1→106→106÷2→53→53×3+1→160→160÷2→80→8O÷2→40→40÷2→20→20÷2→10→10÷2→5→5×3+1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→……
又落入了“4-2-1”的死循环。
不必列举更多的例子，迄今为止，人们还没有遇到例外情况，试验过的数，最终都停留在一个永无休止的循环圈：

但是，自然数浩如烟海，对角谷猜想，目前谁也不能证明，更不能否定。
  
15.7来8往
  
任取一个大于5的自然数，先把它分解质因数，再将全部质因数相加，最后，将所得和再加1，得出新数。对新数重复上述过程，继续转换下去，奇迹便出现了！
取9，按上述规则，转换过程是：
9=3×3                      (3+3)+1=7
7=7                         7+1=8
8=2×2×2                   (2+2+2)+1=7
7=7                         7+1=8
结果成为7  8，反复往来。
取46：
46=2×23                    (2+23)+1=26
26=2×13                    (2+13)+1=16
16=2×2×2×2               (2+2+2+2)+1=9
9=3×3                      (3+3)+1=7
7=7                         7+1=8
结果仍是“7来8往”，循环不已！
三位数如何？如：216。
216=2×2×2×3×3×3                 (2+2+2+3+3+3)+1=16
16=2×2×2×2                        (2+2+2+2)+1=9
9=3×3                               (3+3)+1=7
7=7                                  7+1=8
同样，最终落入“7-8”陷阱！
有人对2520也作上述处理，这个数是考古学家从埃及的一座金字塔墓碑上发现的象形文字。结果也是“ 8-7”循环。
自然数中这个奇异现象，是美国数学家罗伯兹发现的。
  
16.数字黑洞
  
人们都知道太平洋中的百慕大三角是一个巨大的陷阱，飞机、禽鸟、帆船、军舰……只要踏落进去，便永不返回。
令人惊奇的是：在自然数王国里，竟然也存在与此相似的“陷阱”，数字一旦堕人，便只能在谷底苦苦挣扎，永远也逃脱不出。
你可以任写一个三位数，然后进行如下操作：
将三个数字的和乘以2，得数作为重组三位数的百位数和十位数；将原数的十位数字与个位数字的和(若得两位数，再将数字相加得出和)，作为新三位数的个位数。此后，再对重组的三位数重复这一过程，你将看到，必有一数堕落陷阱。
如，任写一个数843，按要求，其转换过程是：
(8+4+3)×2=30……作新三位的百位、十位数。
4+3=7……作新三位数的个位数。
组成新三位数307，重复上述过程，继续下去是：307→207→187→326→228→241→145→209→229→262→208→208→……
结果，208落入“陷阱”。
再如：411，按要求，其转换过程是：
411→122→104→104→……
结果，104落入了陷阱。
假如将三位数按照下面的规则运算下去，同样会出现数字“陷阱”。
1.若是3的倍数，便将该数除以3。
2.若不是3的倍数，便将各数位的数加起来再平方。
如：126

结果进入“169-256”的死循环，再也跳不出去了！
再如：368

结果，1进入了“黑洞”。
另有一种方法，可以把任何一个多位数，迅速地推入“陷阱”。
操作方法是：
第一步：数出多位数含有偶数(包括0)的个数，并以它作新数的百位数；
第二步：数出多位数含有奇数的个数，并以它作新数的十位数。
第三步：将位数所含数字作新数的个位数。组成新数后，对新数重复上述过程。
如：7432581
接下去便总是：123→123→……
最后，落入123“陷阱”。

  
17.数字回家
  
落入陷阱的数，只能在原地打转，去而不返。可是，当我们变换方式，也可以叫一些已经走出去的数，再循着原路返回去，它好像一个外出旅行的人，跑了许多路，最后还是回家了。
操作方法是：
将原三位数的百位数、十位数、个位数分别扩大2倍的积，作为新三位数的百位、十位和个位数。如果某位上的数2倍后是两位数，就将其数字相加的和，作为所在位上的数。以后，对每次新组成的三位数，都重复上述过程。这样，你将看到原来的三位数又出现在面前。
如：546
5×2＝101+0=1(作新三位数的百位数)
4×2=8(作新三位数的十位数)
6×2=12  1+2=3(作新三位数的个位数)
组成新数：183，继续上述过程，即：

结果，又回到了原来的546！
再如:327，按同样方法得：

可见，至多六步便回到了原来的地方。
  
18.数字波涛
  
自然数从1开始，延伸扩展，漫无边际，恰如大海，表面平静如常，实质奥秘无穷！当我们深入其中，进行一番运作，它便顿起波澜。数字海洋竟然也有滚滚浪花、幽幽黑洞。
我们先来观察数字波涛吧！
任取一数，先求出它的数字平方和，再求和的数字平方和，反复进行下去，一种怪异的景象便出现了！
1.取47

舍去中间环节，各个数字或大或小，最后又落到“37”上循环往复，恰如大海波涛，起伏翻滚，永无休止。

2.取412

舍去中间的计算环节，412后依次出现的数字是21-5-25-29-85-89-145-42-20-4-16-37-58-89……它
又如同一个巨大的数字旋涡，从89开始，形成一个永无休止的循环圈。

有时，又恰似一阵狂风过后，波涛逐渐平复，旋涡急速减小，最后只余下微弱的涟漪……任举一例，如4172，按上述要求，变换后的各数是：
4172→70→49→97→130→10→1→1……
真是奇绝、妙绝！
  
19.奇特的1089
  
1089是个奇特的数。它的各位数字和是18，表明它是3的倍数，也是9的倍数；1089是99与11的乘积，因此，它还能被99和11整除；1089=33×33，所以它又是33的倍数。
1089的逆序数是9801，而9801又恰是99×99的积。
想得到1089吗？可以！
1.写出两位数，使它与逆序数的和是99，再继续这个过程，1089必然出现。
如：写出63
63+36=99 99+99=198
198+891=1089
写出27
27+72=99 99+99=198
198+891=1089
2.写出一个高位数大于低位数的三位数，与它的逆序数相减，再将差与差的逆序数相加，也必然出现1089。
如，写出947：
947-749=198
198+89=1089
写出845：
845-548=297 297+792=1089
写出782：
782-287=495 495+594=1089
真是奇妙！
  
20.数海一绝
  
有这么一组数，它们始终联手相等。任你如何摔打，平方也好，“砍头去尾”也好，直至“剁成碎片”，保持相等的特性“至死不变”。
在茫茫数海中，真可谓“一绝”！
这组数是：
123789+561945+642864
=242868+323787+761943
(=1328598)
当然，这样的等式并不希奇，奇就奇在无论你让它们各自自乘，或将它们都“刀砍斧剁”，它们却总要“相等”！请看：
1.将每个数都平方：
1237892+5619452+6428642
=2428682+3237872+7619432
(=744380022042)
相等！
2.把各个数量左边的一个数字都抹去：
23789+61945+42864
=42868+23787+61943
(=128598)
相等！
3.抹掉一位后再平方呢？
237892+619452+428642
=428682+237872+619432
(=6240422042)
还是相等！
4.把各个数左边再抹掉一位、再平方如何呢？
3789+1945+2864
=2868+3787+1943
(=8598)
37892+19452+28642
=28682+37872+19432
(=26342042)
它们还是相等！
咱们索性这样继续干下去。
5.789+945+864=868+787+943(=2598)
7892+9452+8642=8682+7872+9432(=2262042)
6.89+45+64=68+87+43(=198)
892+452+642=682+872+432(=14042)
7.最后只剩下一位数了：
9+5+4=8+7+3(=18)
92+52+42=82+72+32(=122)
相等的性质一如既往！
更为奇绝的是，即使从两组的右边逐个地抹去数字，仍依上述过程，它的相等性质仍是坚定不移！
试试看：
12378+56194+64286
=24286+32378+76194
(=132858)
123782+561942+642862
=242862+323782+761942
(=7443670316)
最后，又是只剩下一位数了：
1+5+6=2+3+7(=12)
12+52+62=22+32+72(=62)
它们也还是相等！
这种“顽强不屈”的精神，使我们想到了一首诗：
千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲。
粉身碎骨浑不怕，要留清白在人间。
真想不到自然数中，也有这样的“钢铁战士”！
  
21.神奇的“洛书”
  
中国古代有一个神话传说：
相传远在夏代，大禹治水时，从洛河里出来一只大乌龟，在龟的背上显出图案和数字，数字从1到9奇妙地排列。大禹根据龟背上的图像，发明了洛书，一直流传至今。

这个数图的奇妙处在于：横、竖、斜三个数的和都是15，实际上是个“三级幻方”。
当时正处在原始氏族社会，我们的祖先能作出这样发明，已是十分令人震惊！难怪古人说它是神的启示。
经过后人的研究，它更令人惊奇的还多着呢！
让我们看看它的奇妙吧！
  
(一)
在横三行中，每两个数组成一个两位数，三个数的和与它们的逆序数的和相等：
49+35+81=18+53+94(=165)
92+57+16=61+75+29(=165)
把被中间一行隔开的两个数组成三个两位数，它们仍具备这种性质：
42+37+86=68+73+24(=165)
更为奇妙的是，将这个式的各个加数都平方，这种相等的性质仍不变。
422+372+862=682+732+242(=10529)
这种等式如同文学作品中的回文，因而称作“回文等式”。
竖三行的数字，若也依此组合，是否有此特征呢？事实证明同样如此！
43+95+27=72+59+34(=165)
38+51+76=67+15+83(=165)
被中间一列隔开的两数，组成后，同样本性不改：
48+91+26=62+19+84(=165)
482+912+262=622+192+842(=11261)
真是奇妙！
然而，更奇妙的还在后边！
  
(二)
这一次，咱们只用四个角上的数组成四个两位数。其他数暂且不管它：
48+86+62+24=42+26+68+84(=220)
仍是个回文等式。
将各个加数都平方。再试试：
482+862+622+242=422+262+682+842(=14120)
还是个回文等式！
再将各个加数立方看看。
483+863+623+243=423+263+683+843(=998800)
还是个回文等式！
这次，咱们把四个角上的数弃之不用了，只用各边中间的数字组数：
31+17+79+93=39+97+71+13(=220)
将加数平方：
312+172+792+932=392+972+712+132(=16140)
将加数立方：
313+173+793+933=393+973+713+133(=1332100)
这种奇妙的回文等式关系，始终不渝！
  
(三)
以5为中心横、竖、斜四个三位数的和也构成回文等式：
951+357+258+654
=456+852+753+159
(=2220)
如果把各个加数都平方，它们的和仍相等：
9512+3572+2582+6542
=4562+8522+7532+1592
(=1526130)
  
(四)
咱们只用横三行的三个三位数，怎样呢？
492+357+816=618+753+294(=1665)
仍是回文等式！
把各个加数也都平方：
4922+3572+8162=6182+7532+2942(=1035369)
还是个回文等式！
竖三列的三个三位数，是否也有此特征呢？经验证，同样如此！
438+951+276=672+159+834(=1665)
4382+9512+2762=6722+1592+8342(=1172421)
  
(五)
如果说，上面的一些式子使我们感到奇妙，那么下面的一些变化，将令人震惊：
我们来变化一下上面已组合成的式子，如：
9512+3572+2582+6542=4562+8522+7532+1592
(=1526130)
对这些数进行“宰割”、“腰斩”，即将每个数的任一个相同数位上的数字都“割去”，让剩下的数字组成数，请看：
1.都割去百位数：
512+572+582+542=562+522+532+592(=12130)
2.都割去十位数：
912+372+282+642=462+822+732+192(=14530)
3.都割去个位数：
952+352+252+652=452+852+752+152(=15100)
瞧，保持回文等式的特征，本性不改！
咱们把每个数的前两位都砍掉，只保留个位数，回文等式的特性仍然存在：12+72+82+42=62+22+32+92(=130)再将后两位砍掉，只保留原来的千位数：92+32+22+62=42+82+72+12(=130)相等的特性仍是不改初衷。
古今算谣
  
兄弟二人摘黄瓜，
一共摘了七十八，
哥哥多摘整八根，
二人各摘多少瓜？
  
◇古今算谣◇
  
用歌谣形式来表达数量关系的数学问题，可称为谣体数学。
谣体数学是数学百花园中一朵常盛不衰的奇葩。它源远流长，脍炙人口。古今中外的数学经典中，都记录了大量的歌谣算题。《希腊文集》、中国明代的《算法统宗》、美国亚当的《学者算术》等数学经典中，都有记载，民间也广泛流传着。
谣体算题的特点是：趣味性强、文学性浓、朗朗上口、易诵易记。这种独特的形式，大大地提高了它的实用价值。其他类型的数学题往往是过耳不留，印象不深。谣体算题却顺口押韵，一经过目，长久不忘，可以收到“熟记一题，掌握一类，终生受用”的功效，对未来的学习生活都具有重要意义。“读歌谣，学数学”实在是一条行之有效的好途径。
这里收集了广泛流传于民间的谣体算题。它们有的是群众自编的，来源于日常的生产、生活实际之中；有的是数学经典题，世代相传，成了群众的口碑。
谣体算题内容丰富，包容了数学知识的方方面面。每一道题，都闪烁着人类智慧的光辉，对发展思维、增长见识、扩展视野都大有助益。
  
1.植树
一条公路千米长，
两旁栽上小白杨，
每隔5米栽一棵，
多少杨树栽路旁？
解：植树类问题，如果不是栽成圆形或方形那样的封闭曲线，一般都是：
株数=路长÷株距+1
即路的两端都栽树。
本题是在路两旁栽树，只要将单行株数求出后再乘以2就行了。
1000÷5+1=200+1=201(株)
201×2=402(株)
答：共栽杨树402株。
  
2.湖边桃柳
  
湖边春色分外娇，
一株杨柳一株桃，
沿湖周长两公里，
五米一株不缺少。
桃红柳绿交辉映，
鸟飞雀舞乐陶陶，
漫步湖边赏春色，
不知桃柳各多少？
解：植树问题有三个基本条件：距离、株距、株数。这三个条件间的关系，随着植树路线不同而略有变化。
本题的植树路线是一个封闭曲线(圆周)，三者的关系便是：
株数=距离÷株距
题中已告知距离是2公里(2000米)，株距是5米，因而，株数可求。
2000÷5=400(株)
400÷2=200(株)
答：共栽桃柳各200株。
  
3.方阵
  
将军领大兵，
战士排方阵。
每边六层中间空，
外层每边十九人，
多少战士摆方阵？
解：方阵有实心和空心两种。
实心的方阵，总人数是外边人数自乘。
空心的方阵，总人数是外边人数自乘再减去中间的空位。
空位的人数怎么求呢？
因为每向内一层，便少2个人，所以，空位每边的人数是外边人数减去层数的2倍(如图)，

中空方阵总人数=外边×外边-(外边-层数×2)
×(外边-层数×2)
=外边 2-(外边-层数×2)2
如果将中空方阵，接图中连线分成四部分，每部分为：(外层-层数)×层数。所以，还可以表示为：
中空方阵总人数=(外层-层数)×层数×4
解法1：19×19-(19-6×2)×(19-6×2)
=361-7×7
=361-49
=312(人)
解法2：(19-6)×6×4
=13×6×4
=312(人)
答：方阵人数是312人。
  
4.连续数
  
连续奇数有七个，
相加之和259，
请你认真细琢磨，
每个奇数为几何？
解：奇数连续数的特点是两相邻数之间差是2，如果奇数连续数的个数也是单数，如：1、3、5；1、3、5、7、9等等，那么，处在正中间的那个奇数，恰是它们的平均数，即：1、3、5三个奇数中，中间的3=(1+3+5)÷3；1、3、5、7、9五个奇数中，中间的5=(1+3+5+7+9)÷5。
由此，可以求得中间一个数。
259÷7=37……中间的一个奇数
所以，这七个奇数分别是：
31、33、35、37、39、41、43
  
5.两个数
  
两数相减差是5，
两数相除商是6，
两数相加和是7，
两数相乘积是6。
请你算一算，
它是哪两数？
解：我们只能从它的和、差、积、商中寻找答案。
从差是5、和是7，可以用“和差问题”的规律，求出两数。
从积和商都是6，可以断定：两数中必定有一个是1，因为只有“ 1乘不变，1除不变”。
解法1：
(5+7)÷2
=12÷2
=6…………大数
6-5=1……小数
解法2：假定两数为a、b，
a÷b=6 a×b=6、
可知a=6 b=1
答：这两个数是6和1。
  
6.老人卖梨
  
一个老人卖黄梨，
连筐共重一百一。
卖去梨的整一半，
连筐还剩五十七。
这筐梨共几斤重？
请你再给回回皮。
(注：斤是中国的市制重量单位，2斤=1公斤，下同)
解：若剩下的57斤全部是梨，则总数应是57斤的2倍，因为总数的1/2是57。这样，总数便是57×2=114(斤)了！实际总数只有110斤，为什么多出4斤(114-110)呢？因为把筐的重量也当作梨算了。可见多出的4斤恰是筐的重量。
也可以这么想：筐和梨的总重量是110斤，它的一半应是：110×1/2=55(斤)，实际剩下的却是 57斤，多出的 2斤便是筐的一半重量。
求得了筐的重量，梨便可求了。
解法1：
筐重：57×2-110=114-110=4(斤)
梨重：110-4=106(斤)
解法2：
筐重：57÷(1-1/2)-110=4(斤)
梨重：110-4-106(斤)
解法3：
筐重：(57-110÷2)×2=4(斤)
梨重：[110÷2-(57-110÷2)]×2
=[110÷2-2〕×2
=53×2
=106(斤)
答：这筐黄梨共重106斤。
  
7.剪绳
  
出道题，够你算，
一丈绳子剪四段，
一段比一段长8寸，
各段多长你剪剪。
(注丈、尺、寸都是中国的市制长度单位，1米=3尺。下同)
解：初看无从下手。但是当我们画出线段图，便容易找到解题的途径了。

从图中可看出：若从总长度中减去6个8寸，则余下部分相当于第一根(最短的一根)的4倍，从而，最短的一根可求。
求得了最短的一根，其余的便迎刃而解。
1丈=10尺 8寸=0.8尺
(10-0.8×6)÷4=5.2÷4=1.3(尺)
1.3+0.8=2.1(尺) 2.1+0.8=2.9(尺)
2.9+0.8=3.7(尺)
答：剪成的四根长度分别是：1.3尺、2.1尺、2.9尺和3.7尺。     
  
8.两数差
  
甲和乙，两个数，
25的1/5是甲数，
乙数的1/5是25，
不知两数是多少
请你算算相差数。
解：这两个数用线段图，可表示为：

甲数是“求一个数的几分之几是多少，用乘法。”
乙数是“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。”
显然，乙数大于甲数。
25÷1/5-25×1/5
=125-5
=120
答：两数的差是120。
  
9.两个长方形
  
长方形，两块地，
长与宽差不离，
一长6米宽3米，
一长5米宽4米。
两块地里都种菜，
拉上篱笆防鸭鸡。
现在请你算一算，
篱笆长度是多少？
面积是否一样的？
解：题目中已经具备了长和宽两个基本条件，按照公式，分别求出两个长方形的周长和面积就行了。
两个长方形周长分别是：
(6+3)×2=9×2=18(米)
(5+4)×2=9×2=18(米)
两个长方形的面积分别是：
6×3=18(平方米)
5×4=20(平方米)
答：篱笆长度是18米。两块地的面积分别为18平方米和20平方米，不一样

◇后记◇

数学是基础教育的一门重要学科。计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力是学习、生活和从事社会工作的基本技能。从少年时代打好数学基础，养成热爱科学的兴趣、勤思好学的习惯，不仅对于人生有重要意义，也关系着民族素质的大计。
然而，数学在许多人的心目中，却是抽象乏味的代名词。
参与本书工作的都是长期与少年儿童生活在一起的教育工作者，使大家感受最深的是：不论是课堂教学还是课外作业，只要内容能够引发兴趣的，便学得轻松愉快，效果良好。
于是，各自便留心收集整理各种趣味数学知识，从读书看报，到听老人讲古，直至街头摆摊设点的数学游戏……都成了教学的“佐料”。
这本《奇妙数学大世界》，是集体智慧的结晶。它的内容大体来源于四个方面：一是日常生活的实际事例；二是民间流行的传统趣题、名题；三是根据书、报刊载的相关内容加工改编的；四是独立创作的。由于来源广泛，不便一一注明出处。在此仅向提供资料的同志表示衷心的谢意。
如果读者通过阅读本书从而热爱数学、钻研探索，进而也如同书中那些在数学上作出贡献的学者、专家，则作者的愿望便达到了，相信这也是所有与此书有关的同志的心愿。
编著者

思维么、怪哉怪哉、

数学的确是非常吸引人，我也很喜欢数学。

兰州我可以编辑此帖么{sk}

真是好久不见兰州啊，感动ing